Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75737 / 55869
↖ ↑ ↗
← N 25.648954°
E 28.017883°		 ← 275.33 m → N 25.648954°
E 28.020630°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
N 25.646478°
E 28.017883°		 ← 275.34 m →
75 797 m²		 N 25.646478°
E 28.020630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577831268310547 y=0.426250457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577831268310547 × 217)
    floor (0.577831268310547 × 131072)
    floor (75737.5)     		tx = 75737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426250457763672 × 217)
    floor (0.426250457763672 × 131072)
    floor (55869.5)     		ty = 55869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75737 / 55869 ti = "17/75737/55869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75737/55869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75737 ÷ 217
    75737 ÷ 131072     		x = 0.577827453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55869 ÷ 217
    55869 ÷ 131072     		y = 0.426246643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577827453613281 × 2 - 1) × π
    0.155654907226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48900431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426246643066406 × 2 - 1) × π
    0.147506713867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.463406008627083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48900431} λ = 0.48900431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463406008627083))-π/2
    2×atan(1.58947855343185)-π/2
    2×1.00922751564551-π/2
    2.01845503129101-1.57079632675     		φ = 0.44765870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48900431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.017883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44765870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.648954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75737 KachelY 55869 0.48900431 0.44765870 28.017883 25.648954
    Oben rechts KachelX + 1 75738 KachelY 55869 0.48905225 0.44765870 28.020630 25.648954
    Unten links KachelX 75737 KachelY + 1 55870 0.48900431 0.44761549 28.017883 25.646478
    Unten rechts KachelX + 1 75738 KachelY + 1 55870 0.48905225 0.44761549 28.020630 25.646478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44765870-0.44761549) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dl = 275.2909100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44765870-0.44761549) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dr = 275.2909100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48900431-0.48905225) × cos(0.44765870) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901463018244411 × 6371000     		do = 275.330009430071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48900431-0.48905225) × cos(0.44761549) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901481721116092 × 6371000     		du = 275.335721768494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44765870)-sin(0.44761549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901463018244411-0.901481721116092)×R²
    abs(0.48905225-0.48900431)×1.87028716819304e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87028716819304e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87028716819304e-05×40589641000000     		ar = 75796.6351356081m²