Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75734 / 57402
↖ ↑ ↗
← N 21.795207°
E 28.009643°		 ← 283.59 m → N 21.795207°
E 28.012390°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
N 21.792657°
E 28.009643°		 ← 283.60 m →
80 420 m²		 N 21.792657°
E 28.012390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577808380126953 y=0.437946319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577808380126953 × 217)
    floor (0.577808380126953 × 131072)
    floor (75734.5)     		tx = 75734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437946319580078 × 217)
    floor (0.437946319580078 × 131072)
    floor (57402.5)     		ty = 57402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75734 / 57402 ti = "17/75734/57402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75734/57402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75734 ÷ 217
    75734 ÷ 131072     		x = 0.577804565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57402 ÷ 217
    57402 ÷ 131072     		y = 0.437942504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577804565429688 × 2 - 1) × π
    0.155609130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48886050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437942504882812 × 2 - 1) × π
    0.124114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.389918741509537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48886050} λ = 0.48886050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389918741509537))-π/2
    2×atan(1.47686078152897)-π/2
    2×0.975597230683041-π/2
    1.95119446136608-1.57079632675     		φ = 0.38039813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48886050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.009643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38039813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.795207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75734 KachelY 57402 0.48886050 0.38039813 28.009643 21.795207
    Oben rechts KachelX + 1 75735 KachelY 57402 0.48890844 0.38039813 28.012390 21.795207
    Unten links KachelX 75734 KachelY + 1 57403 0.48886050 0.38035362 28.009643 21.792657
    Unten rechts KachelX + 1 75735 KachelY + 1 57403 0.48890844 0.38035362 28.012390 21.792657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38039813-0.38035362) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38039813-0.38035362) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48886050-0.48890844) × cos(0.38039813) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928516887413772 × 6371000     		do = 283.59295744099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48886050-0.48890844) × cos(0.38035362) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.928533412619439 × 6371000     		du = 283.59800466416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38039813)-sin(0.38035362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928516887413772-0.928533412619439)×R²
    abs(0.48890844-0.48886050)×1.6525205667195e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.6525205667195e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.6525205667195e-05×40589641000000     		ar = 80420.0809168642m²