Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75733 / 56417
↖ ↑ ↗
← N 24.284523°
E 28.006897°		 ← 278.34 m → N 24.284523°
E 28.009643°		 →
↑
278.41 m
↓
↑
278.41 m
↓
N 24.282020°
E 28.006897°		 ← 278.35 m →
77 495 m²		 N 24.282020°
E 28.009643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577800750732422 y=0.430431365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577800750732422 × 217)
    floor (0.577800750732422 × 131072)
    floor (75733.5)     		tx = 75733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430431365966797 × 217)
    floor (0.430431365966797 × 131072)
    floor (56417.5)     		ty = 56417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75733 / 56417 ti = "17/75733/56417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75733/56417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75733 ÷ 217
    75733 ÷ 131072     		x = 0.577796936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56417 ÷ 217
    56417 ÷ 131072     		y = 0.430427551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577796936035156 × 2 - 1) × π
    0.155593872070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.48881257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430427551269531 × 2 - 1) × π
    0.139144897460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.437136587635292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48881257} λ = 0.48881257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437136587635292))-π/2
    2×atan(1.54826753681627)-π/2
    2×0.997320608180515-π/2
    1.99464121636103-1.57079632675     		φ = 0.42384489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48881257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.006897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42384489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.284523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75733 KachelY 56417 0.48881257 0.42384489 28.006897 24.284523
    Oben rechts KachelX + 1 75734 KachelY 56417 0.48886050 0.42384489 28.009643 24.284523
    Unten links KachelX 75733 KachelY + 1 56418 0.48881257 0.42380119 28.006897 24.282020
    Unten rechts KachelX + 1 75734 KachelY + 1 56418 0.48886050 0.42380119 28.009643 24.282020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42384489-0.42380119) × R
    4.36999999999799e-05 × 6371000     		dl = 278.412699999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42384489-0.42380119) × R
    4.36999999999799e-05 × 6371000     		dr = 278.412699999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48881257-0.48886050) × cos(0.42384489) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911514400916411 × 6371000     		do = 278.341887837917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48881257-0.48886050) × cos(0.42380119) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911532372464509 × 6371000     		du = 278.347375666327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42384489)-sin(0.42380119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911514400916411-0.911532372464509)×R²
    abs(0.48886050-0.48881257)×1.7971548098128e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.7971548098128e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.7971548098128e-05×40589641000000     		ar = 77494.6804689431m²