Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7573 / 6995
↖ ↑ ↗
← N 25.423432°
W 13.601074°		 ← 2 206.67 m → N 25.423432°
W 13.579101°		 →
↑
2 206.85 m
↓
↑
2 206.85 m
↓
N 25.403585°
W 13.601074°		 ← 2 207.03 m →
4 870 194 m²		 N 25.403585°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462249755859375 y=0.426971435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462249755859375 × 214)
    floor (0.462249755859375 × 16384)
    floor (7573.5)     		tx = 7573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426971435546875 × 214)
    floor (0.426971435546875 × 16384)
    floor (6995.5)     		ty = 6995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7573 / 6995 ti = "14/7573/6995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7573/6995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7573 ÷ 214
    7573 ÷ 16384     		x = 0.46221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6995 ÷ 214
    6995 ÷ 16384     		y = 0.42694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42694091796875 × 2 - 1) × π
    0.1461181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.459043750761658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23738353} λ = -0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459043750761658))-π/2
    2×atan(1.58255993947066)-π/2
    2×1.00725945616379-π/2
    2.01451891232758-1.57079632675     		φ = 0.44372259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44372259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.423432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7573 KachelY 6995 -0.23738353 0.44372259 -13.601074 25.423432
    Oben rechts KachelX + 1 7574 KachelY 6995 -0.23700003 0.44372259 -13.579101 25.423432
    Unten links KachelX 7573 KachelY + 1 6996 -0.23738353 0.44337620 -13.601074 25.403585
    Unten rechts KachelX + 1 7574 KachelY + 1 6996 -0.23700003 0.44337620 -13.579101 25.403585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44372259-0.44337620) × R
    0.000346389999999974 × 6371000     		dl = 2206.85068999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44372259-0.44337620) × R
    0.000346389999999974 × 6371000     		dr = 2206.85068999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23738353--0.23700003) × cos(0.44372259) × R
    0.000383500000000009 × 0.903159800018213 × 6371000     		do = 2206.67092144885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23738353--0.23700003) × cos(0.44337620) × R
    0.000383500000000009 × 0.903308452626554 × 6371000     		du = 2207.03412117078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44372259)-sin(0.44337620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903159800018213-0.903308452626554)×R²
    abs(-0.23700003--0.23738353)×0.00014865260834096×R²
    0.000383500000000009×0.00014865260834096×6371000²
    0.000383500000000009×0.00014865260834096×40589641000000     		ar = 4870194.05807666m²