Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7573 / 10537
↖ ↑ ↗
← S 45.721522°
W 13.601074°		 ← 1 705.77 m → S 45.721522°
W 13.579101°		 →
↑
1 705.52 m
↓
↑
1 705.52 m
↓
S 45.736860°
W 13.601074°		 ← 1 705.30 m →
2 908 813 m²		 S 45.736860°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462249755859375 y=0.643157958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462249755859375 × 214)
    floor (0.462249755859375 × 16384)
    floor (7573.5)     		tx = 7573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643157958984375 × 214)
    floor (0.643157958984375 × 16384)
    floor (10537.5)     		ty = 10537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7573 / 10537 ti = "14/7573/10537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7573/10537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7573 ÷ 214
    7573 ÷ 16384     		x = 0.46221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10537 ÷ 214
    10537 ÷ 16384     		y = 0.64312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2862548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.899296236872253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23738353} λ = -0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899296236872253))-π/2
    2×atan(0.406855889183035)-π/2
    2×0.386402618613807-π/2
    0.772805237227614-1.57079632675     		φ = -0.79799109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79799109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.721522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7573 KachelY 10537 -0.23738353 -0.79799109 -13.601074 -45.721522
    Oben rechts KachelX + 1 7574 KachelY 10537 -0.23700003 -0.79799109 -13.579101 -45.721522
    Unten links KachelX 7573 KachelY + 1 10538 -0.23738353 -0.79825879 -13.601074 -45.736860
    Unten rechts KachelX + 1 7574 KachelY + 1 10538 -0.23700003 -0.79825879 -13.579101 -45.736860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79799109--0.79825879) × R
    0.000267699999999982 × 6371000     		dl = 1705.51669999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79799109--0.79825879) × R
    0.000267699999999982 × 6371000     		dr = 1705.51669999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23738353--0.23700003) × cos(-0.79799109) × R
    0.000383500000000009 × 0.698146406346505 × 6371000     		do = 1705.76610447872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23738353--0.23700003) × cos(-0.79825879) × R
    0.000383500000000009 × 0.697954720173338 × 6371000     		du = 1705.29776177307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79799109)-sin(-0.79825879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698146406346505-0.697954720173338)×R²
    abs(-0.23700003--0.23738353)×0.000191686173166783×R²
    0.000383500000000009×0.000191686173166783×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191686173166783×40589641000000     		ar = 2908813.21170017m²