Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75727 / 56611
↖ ↑ ↗
← N 23.797911°
E 27.990417°		 ← 279.46 m → N 23.797911°
E 27.993164°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
N 23.795397°
E 27.990417°		 ← 279.46 m →
78 108 m²		 N 23.795397°
E 27.993164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577754974365234 y=0.431911468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577754974365234 × 217)
    floor (0.577754974365234 × 131072)
    floor (75727.5)     		tx = 75727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431911468505859 × 217)
    floor (0.431911468505859 × 131072)
    floor (56611.5)     		ty = 56611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75727 / 56611 ti = "17/75727/56611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75727/56611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75727 ÷ 217
    75727 ÷ 131072     		x = 0.577751159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56611 ÷ 217
    56611 ÷ 131072     		y = 0.431907653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577751159667969 × 2 - 1) × π
    0.155502319335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48852494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431907653808594 × 2 - 1) × π
    0.136184692382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.427836829109001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48852494} λ = 0.48852494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427836829109001))-π/2
    2×atan(1.53393576688033)-π/2
    2×0.993074111574461-π/2
    1.98614822314892-1.57079632675     		φ = 0.41535190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48852494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.990417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41535190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.797911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75727 KachelY 56611 0.48852494 0.41535190 27.990417 23.797911
    Oben rechts KachelX + 1 75728 KachelY 56611 0.48857288 0.41535190 27.993164 23.797911
    Unten links KachelX 75727 KachelY + 1 56612 0.48852494 0.41530803 27.990417 23.795397
    Unten rechts KachelX + 1 75728 KachelY + 1 56612 0.48857288 0.41530803 27.993164 23.795397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41535190-0.41530803) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dl = 279.495770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41535190-0.41530803) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dr = 279.495770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48852494-0.48857288) × cos(0.41535190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914974381299979 × 6371000     		do = 279.456727489405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48852494-0.48857288) × cos(0.41530803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914992082488086 × 6371000     		du = 279.462133887881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41535190)-sin(0.41530803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914974381299979-0.914992082488086)×R²
    abs(0.48857288-0.48852494)×1.77011881067335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77011881067335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77011881067335e-05×40589641000000     		ar = 78107.7287766466m²