Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75726 / 56610
↖ ↑ ↗
← N 23.800424°
E 27.987671°		 ← 279.39 m → N 23.800424°
E 27.990417°		 →
↑
279.43 m
↓
↑
279.43 m
↓
N 23.797911°
E 27.987671°		 ← 279.40 m →
78 072 m²		 N 23.797911°
E 27.990417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577747344970703 y=0.431903839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577747344970703 × 217)
    floor (0.577747344970703 × 131072)
    floor (75726.5)     		tx = 75726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431903839111328 × 217)
    floor (0.431903839111328 × 131072)
    floor (56610.5)     		ty = 56610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75726 / 56610 ti = "17/75726/56610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75726/56610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75726 ÷ 217
    75726 ÷ 131072     		x = 0.577743530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56610 ÷ 217
    56610 ÷ 131072     		y = 0.431900024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577743530273438 × 2 - 1) × π
    0.155487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48847701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431900024414062 × 2 - 1) × π
    0.136199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.427884766008621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48847701} λ = 0.48847701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427884766008621))-π/2
    2×atan(1.53400930076769)-π/2
    2×0.993096041879924-π/2
    1.98619208375985-1.57079632675     		φ = 0.41539576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48847701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.987671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41539576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.800424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75726 KachelY 56610 0.48847701 0.41539576 27.987671 23.800424
    Oben rechts KachelX + 1 75727 KachelY 56610 0.48852494 0.41539576 27.990417 23.800424
    Unten links KachelX 75726 KachelY + 1 56611 0.48847701 0.41535190 27.987671 23.797911
    Unten rechts KachelX + 1 75727 KachelY + 1 56611 0.48852494 0.41535190 27.990417 23.797911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41539576-0.41535190) × R
    4.38600000000067e-05 × 6371000     		dl = 279.432060000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41539576-0.41535190) × R
    4.38600000000067e-05 × 6371000     		dr = 279.432060000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48847701-0.48852494) × cos(0.41539576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.914956682386454 × 6371000     		do = 279.393029895764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48847701-0.48852494) × cos(0.41535190) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.914974381299979 × 6371000     		du = 279.398434471927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41539576)-sin(0.41535190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914956682386454-0.914974381299979)×R²
    abs(0.48852494-0.48847701)×1.76989135247663e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76989135247663e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76989135247663e-05×40589641000000     		ar = 78072.1250118698m²