Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75726 / 54710
↖ ↑ ↗
← N 28.483177°
E 27.987671°		 ← 268.40 m → N 28.483177°
E 27.990417°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
N 28.480763°
E 27.987671°		 ← 268.41 m →
72 042 m²		 N 28.480763°
E 27.990417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577747344970703 y=0.417407989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577747344970703 × 217)
    floor (0.577747344970703 × 131072)
    floor (75726.5)     		tx = 75726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417407989501953 × 217)
    floor (0.417407989501953 × 131072)
    floor (54710.5)     		ty = 54710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75726 / 54710 ti = "17/75726/54710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75726/54710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75726 ÷ 217
    75726 ÷ 131072     		x = 0.577743530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54710 ÷ 217
    54710 ÷ 131072     		y = 0.417404174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577743530273438 × 2 - 1) × π
    0.155487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48847701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417404174804688 × 2 - 1) × π
    0.165191650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.518964875286728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48847701} λ = 0.48847701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518964875286728))-π/2
    2×atan(1.68028744213159)-π/2
    2×1.03396077394122-π/2
    2.06792154788243-1.57079632675     		φ = 0.49712522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48847701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.987671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49712522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.483177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75726 KachelY 54710 0.48847701 0.49712522 27.987671 28.483177
    Oben rechts KachelX + 1 75727 KachelY 54710 0.48852494 0.49712522 27.990417 28.483177
    Unten links KachelX 75726 KachelY + 1 54711 0.48847701 0.49708309 27.987671 28.480763
    Unten rechts KachelX + 1 75727 KachelY + 1 54711 0.48852494 0.49708309 27.990417 28.480763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49712522-0.49708309) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dl = 268.410229999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49712522-0.49708309) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dr = 268.410229999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48847701-0.48852494) × cos(0.49712522) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.878957176615225 × 6371000     		do = 268.400147734458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48847701-0.48852494) × cos(0.49708309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.878977267661841 × 6371000     		du = 268.406282777237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49712522)-sin(0.49708309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878957176615225-0.878977267661841)×R²
    abs(0.48852494-0.48847701)×2.00910466156001e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00910466156001e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00910466156001e-05×40589641000000     		ar = 72042.168750154m²