Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75724 / 55916
↖ ↑ ↗
← N 25.532529°
E 27.982178°		 ← 275.60 m → N 25.532529°
E 27.984924°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
N 25.530050°
E 27.982178°		 ← 275.60 m →
75 958 m²		 N 25.530050°
E 27.984924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577732086181641 y=0.426609039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577732086181641 × 217)
    floor (0.577732086181641 × 131072)
    floor (75724.5)     		tx = 75724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426609039306641 × 217)
    floor (0.426609039306641 × 131072)
    floor (55916.5)     		ty = 55916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75724 / 55916 ti = "17/75724/55916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75724/55916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75724 ÷ 217
    75724 ÷ 131072     		x = 0.577728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55916 ÷ 217
    55916 ÷ 131072     		y = 0.426605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577728271484375 × 2 - 1) × π
    0.15545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48838113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426605224609375 × 2 - 1) × π
    0.14678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.46115297434494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48838113} λ = 0.48838113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46115297434494))-π/2
    2×atan(1.58590143495869)-π/2
    2×1.00821150745906-π/2
    2.01642301491811-1.57079632675     		φ = 0.44562669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48838113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.982178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44562669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.532529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75724 KachelY 55916 0.48838113 0.44562669 27.982178 25.532529
    Oben rechts KachelX + 1 75725 KachelY 55916 0.48842907 0.44562669 27.984924 25.532529
    Unten links KachelX 75724 KachelY + 1 55917 0.48838113 0.44558343 27.982178 25.530050
    Unten rechts KachelX + 1 75725 KachelY + 1 55917 0.48842907 0.44558343 27.984924 25.530050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44562669-0.44558343) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44562669-0.44558343) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48838113-0.48842907) × cos(0.44562669) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902340724518973 × 6371000     		do = 275.598083518482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48838113-0.48842907) × cos(0.44558343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902359369749203 × 6371000     		du = 275.603778251722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44562669)-sin(0.44558343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902340724518973-0.902359369749203)×R²
    abs(0.48842907-0.48838113)×1.86452302302076e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86452302302076e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86452302302076e-05×40589641000000     		ar = 75958.2237486466m²