Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75723 / 54715
↖ ↑ ↗
← N 28.471106°
E 27.979431°		 ← 268.43 m → N 28.471106°
E 27.982178°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
N 28.468691°
E 27.979431°		 ← 268.44 m →
72 068 m²		 N 28.468691°
E 27.982178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577724456787109 y=0.417446136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577724456787109 × 217)
    floor (0.577724456787109 × 131072)
    floor (75723.5)     		tx = 75723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417446136474609 × 217)
    floor (0.417446136474609 × 131072)
    floor (54715.5)     		ty = 54715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75723 / 54715 ti = "17/75723/54715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75723/54715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75723 ÷ 217
    75723 ÷ 131072     		x = 0.577720642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54715 ÷ 217
    54715 ÷ 131072     		y = 0.417442321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577720642089844 × 2 - 1) × π
    0.155441284179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.48833320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417442321777344 × 2 - 1) × π
    0.165115356445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.518725190788628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48833320} λ = 0.48833320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518725190788628))-π/2
    2×atan(1.67988475154063)-π/2
    2×1.0338554317167-π/2
    2.0677108634334-1.57079632675     		φ = 0.49691454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48833320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.979431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49691454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.471106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75723 KachelY 54715 0.48833320 0.49691454 27.979431 28.471106
    Oben rechts KachelX + 1 75724 KachelY 54715 0.48838113 0.49691454 27.982178 28.471106
    Unten links KachelX 75723 KachelY + 1 54716 0.48833320 0.49687240 27.979431 28.468691
    Unten rechts KachelX + 1 75724 KachelY + 1 54716 0.48838113 0.49687240 27.982178 28.468691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49691454-0.49687240) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dl = 268.473940000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49691454-0.49687240) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dr = 268.473940000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48833320-0.48838113) × cos(0.49691454) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879057630548121 × 6371000     		do = 268.430822551018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48833320-0.48838113) × cos(0.49687240) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879077718559408 × 6371000     		du = 268.436956666923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49691454)-sin(0.49687240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879057630548121-0.879077718559408)×R²
    abs(0.48838113-0.48833320)×2.0088011286834e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0088011286834e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0088011286834e-05×40589641000000     		ar = 72067.503983655m²