Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75722 / 61386
↖ ↑ ↗
← N 11.323867°
E 27.976685°		 ← 299.48 m → N 11.323867°
E 27.979431°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
N 11.321174°
E 27.976685°		 ← 299.48 m →
89 676 m²		 N 11.321174°
E 27.979431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577716827392578 y=0.468341827392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577716827392578 × 217)
    floor (0.577716827392578 × 131072)
    floor (75722.5)     		tx = 75722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468341827392578 × 217)
    floor (0.468341827392578 × 131072)
    floor (61386.5)     		ty = 61386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75722 / 61386 ti = "17/75722/61386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75722/61386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75722 ÷ 217
    75722 ÷ 131072     		x = 0.577713012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61386 ÷ 217
    61386 ÷ 131072     		y = 0.468338012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577713012695312 × 2 - 1) × π
    0.155426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48828526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468338012695312 × 2 - 1) × π
    0.063323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.198938133423233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48828526} λ = 0.48828526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198938133423233))-π/2
    2×atan(1.22010647975367)-π/2
    2×0.884217543680505-π/2
    1.76843508736101-1.57079632675     		φ = 0.19763876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48828526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.976685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19763876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.323867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75722 KachelY 61386 0.48828526 0.19763876 27.976685 11.323867
    Oben rechts KachelX + 1 75723 KachelY 61386 0.48833320 0.19763876 27.979431 11.323867
    Unten links KachelX 75722 KachelY + 1 61387 0.48828526 0.19759176 27.976685 11.321174
    Unten rechts KachelX + 1 75723 KachelY + 1 61387 0.48833320 0.19759176 27.979431 11.321174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19763876-0.19759176) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dl = 299.436999999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19763876-0.19759176) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dr = 299.436999999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48828526-0.48833320) × cos(0.19763876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980532951219018 × 6371000     		do = 299.480002220603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48828526-0.48833320) × cos(0.19759176) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980542178802531 × 6371000     		du = 299.482820562126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19763876)-sin(0.19759176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980532951219018-0.980542178802531)×R²
    abs(0.48833320-0.48828526)×9.22758351296071e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.22758351296071e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.22758351296071e-06×40589641000000     		ar = 89675.8153993014m²