Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75722 / 54711
↖ ↑ ↗
← N 28.480763°
E 27.976685°		 ← 268.46 m → N 28.480763°
E 27.979431°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
N 28.478349°
E 27.976685°		 ← 268.47 m →
72 076 m²		 N 28.478349°
E 27.979431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577716827392578 y=0.417415618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577716827392578 × 217)
    floor (0.577716827392578 × 131072)
    floor (75722.5)     		tx = 75722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417415618896484 × 217)
    floor (0.417415618896484 × 131072)
    floor (54711.5)     		ty = 54711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75722 / 54711 ti = "17/75722/54711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75722/54711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75722 ÷ 217
    75722 ÷ 131072     		x = 0.577713012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54711 ÷ 217
    54711 ÷ 131072     		y = 0.417411804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577713012695312 × 2 - 1) × π
    0.155426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48828526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417411804199219 × 2 - 1) × π
    0.165176391601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.518916938387108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48828526} λ = 0.48828526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518916938387108))-π/2
    2×atan(1.68020689629172)-π/2
    2×1.03393970645945-π/2
    2.0678794129189-1.57079632675     		φ = 0.49708309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48828526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.976685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49708309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.480763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75722 KachelY 54711 0.48828526 0.49708309 27.976685 28.480763
    Oben rechts KachelX + 1 75723 KachelY 54711 0.48833320 0.49708309 27.979431 28.480763
    Unten links KachelX 75722 KachelY + 1 54712 0.48828526 0.49704095 27.976685 28.478349
    Unten rechts KachelX + 1 75723 KachelY + 1 54712 0.48833320 0.49704095 27.979431 28.478349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49708309-0.49704095) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dl = 268.473940000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49708309-0.49704095) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dr = 268.473940000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48828526-0.48833320) × cos(0.49708309) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878977267661841 × 6371000     		do = 268.462282418931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48828526-0.48833320) × cos(0.49704095) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878997361916594 × 6371000     		du = 268.468419721558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49708309)-sin(0.49704095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878977267661841-0.878997361916594)×R²
    abs(0.48833320-0.48828526)×2.00942547529115e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00942547529115e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00942547529115e-05×40589641000000     		ar = 72075.9505660316m²