Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75721 / 56523
↖ ↑ ↗
← N 24.018870°
E 27.973938°		 ← 278.98 m → N 24.018870°
E 27.976685°		 →
↑
278.92 m
↓
↑
278.92 m
↓
N 24.016362°
E 27.973938°		 ← 278.98 m →
77 814 m²		 N 24.016362°
E 27.976685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577709197998047 y=0.431240081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577709197998047 × 217)
    floor (0.577709197998047 × 131072)
    floor (75721.5)     		tx = 75721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431240081787109 × 217)
    floor (0.431240081787109 × 131072)
    floor (56523.5)     		ty = 56523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75721 / 56523 ti = "17/75721/56523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75721/56523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75721 ÷ 217
    75721 ÷ 131072     		x = 0.577705383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56523 ÷ 217
    56523 ÷ 131072     		y = 0.431236267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577705383300781 × 2 - 1) × π
    0.155410766601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48823732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431236267089844 × 2 - 1) × π
    0.137527465820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.432055276275566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48823732} λ = 0.48823732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432055276275566))-π/2
    2×atan(1.54042026150268)-π/2
    2×0.995002350751045-π/2
    1.99000470150209-1.57079632675     		φ = 0.41920837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48823732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.973938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41920837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.018870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75721 KachelY 56523 0.48823732 0.41920837 27.973938 24.018870
    Oben rechts KachelX + 1 75722 KachelY 56523 0.48828526 0.41920837 27.976685 24.018870
    Unten links KachelX 75721 KachelY + 1 56524 0.48823732 0.41916459 27.973938 24.016362
    Unten rechts KachelX + 1 75722 KachelY + 1 56524 0.48828526 0.41916459 27.976685 24.016362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41920837-0.41916459) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dl = 278.922379999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41920837-0.41916459) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dr = 278.922379999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48823732-0.48828526) × cos(0.41920837) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913411449579662 × 6371000     		do = 278.979367912481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48823732-0.48828526) × cos(0.41916459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913429268805903 × 6371000     		du = 278.984810362842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41920837)-sin(0.41916459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913411449579662-0.913429268805903)×R²
    abs(0.48828526-0.48823732)×1.78192262403343e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78192262403343e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78192262403343e-05×40589641000000     		ar = 77814.3482920672m²