Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7572 / 5154
↖ ↑ ↗
← N 55.354136°
W 13.623047°		 ← 1 388.97 m → N 55.354136°
W 13.601074°		 →
↑
1 389.26 m
↓
↑
1 389.26 m
↓
N 55.341642°
W 13.623047°		 ← 1 389.41 m →
1 929 950 m²		 N 55.341642°
W 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462188720703125 y=0.314605712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462188720703125 × 214)
    floor (0.462188720703125 × 16384)
    floor (7572.5)     		tx = 7572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314605712890625 × 214)
    floor (0.314605712890625 × 16384)
    floor (5154.5)     		ty = 5154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7572 / 5154 ti = "14/7572/5154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7572/5154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7572 ÷ 214
    7572 ÷ 16384     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5154 ÷ 214
    5154 ÷ 16384     		y = 0.3145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3145751953125 × 2 - 1) × π
    0.370849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16505840836584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16505840836584))-π/2
    2×atan(3.20611014138812)-π/2
    2×1.2684541212668-π/2
    2.53690824253359-1.57079632675     		φ = 0.96611192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96611192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.354136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7572 KachelY 5154 -0.23776702 0.96611192 -13.623047 55.354136
    Oben rechts KachelX + 1 7573 KachelY 5154 -0.23738353 0.96611192 -13.601074 55.354136
    Unten links KachelX 7572 KachelY + 1 5155 -0.23776702 0.96589386 -13.623047 55.341642
    Unten rechts KachelX + 1 7573 KachelY + 1 5155 -0.23738353 0.96589386 -13.601074 55.341642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96611192-0.96589386) × R
    0.00021806000000002 × 6371000     		dl = 1389.26026000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96611192-0.96589386) × R
    0.00021806000000002 × 6371000     		dr = 1389.26026000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23738353) × cos(0.96611192) × R
    0.000383489999999986 × 0.568502471865926 × 6371000     		do = 1388.97364741434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23738353) × cos(0.96589386) × R
    0.000383489999999986 × 0.568681852288002 × 6371000     		du = 1389.41191231459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96611192)-sin(0.96589386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568502471865926-0.568681852288002)×R²
    abs(-0.23738353--0.23776702)×0.000179380422075992×R²
    0.000383489999999986×0.000179380422075992×6371000²
    0.000383489999999986×0.000179380422075992×40589641000000     		ar = 1929950.33019105m²