Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7572 / 4164
↖ ↑ ↗
← N 65.910623°
W 13.623047°		 ← 997.23 m → N 65.910623°
W 13.601074°		 →
↑
997.44 m
↓
↑
997.44 m
↓
N 65.901653°
W 13.623047°		 ← 997.57 m →
994 850 m²		 N 65.901653°
W 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462188720703125 y=0.254180908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462188720703125 × 214)
    floor (0.462188720703125 × 16384)
    floor (7572.5)     		tx = 7572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254180908203125 × 214)
    floor (0.254180908203125 × 16384)
    floor (4164.5)     		ty = 4164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7572 / 4164 ti = "14/7572/4164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7572/4164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7572 ÷ 214
    7572 ÷ 16384     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4164 ÷ 214
    4164 ÷ 16384     		y = 0.254150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254150390625 × 2 - 1) × π
    0.49169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54471865335669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54471865335669))-π/2
    2×atan(4.6866528674638)-π/2
    2×1.36057685806812-π/2
    2.72115371613624-1.57079632675     		φ = 1.15035739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15035739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.910623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7572 KachelY 4164 -0.23776702 1.15035739 -13.623047 65.910623
    Oben rechts KachelX + 1 7573 KachelY 4164 -0.23738353 1.15035739 -13.601074 65.910623
    Unten links KachelX 7572 KachelY + 1 4165 -0.23776702 1.15020083 -13.623047 65.901653
    Unten rechts KachelX + 1 7573 KachelY + 1 4165 -0.23738353 1.15020083 -13.601074 65.901653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15035739-1.15020083) × R
    0.000156559999999972 × 6371000     		dl = 997.443759999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15035739-1.15020083) × R
    0.000156559999999972 × 6371000     		dr = 997.443759999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23738353) × cos(1.15035739) × R
    0.000383489999999986 × 0.40816120209893 × 6371000     		do = 997.225485672248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23738353) × cos(1.15020083) × R
    0.000383489999999986 × 0.408304122265569 × 6371000     		du = 997.57467033717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15035739)-sin(1.15020083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40816120209893-0.408304122265569)×R²
    abs(-0.23738353--0.23776702)×0.000142920166639027×R²
    0.000383489999999986×0.000142920166639027×6371000²
    0.000383489999999986×0.000142920166639027×40589641000000     		ar = 994850.486060111m²