Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7572 / 4115
↖ ↑ ↗
← N 66.346322°
W 13.623047°		 ← 980.24 m → N 66.346322°
W 13.601074°		 →
↑
980.43 m
↓
↑
980.43 m
↓
N 66.337505°
W 13.623047°		 ← 980.58 m →
961 224 m²		 N 66.337505°
W 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462188720703125 y=0.251190185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462188720703125 × 214)
    floor (0.462188720703125 × 16384)
    floor (7572.5)     		tx = 7572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251190185546875 × 214)
    floor (0.251190185546875 × 16384)
    floor (4115.5)     		ty = 4115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7572 / 4115 ti = "14/7572/4115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7572/4115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7572 ÷ 214
    7572 ÷ 16384     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4115 ÷ 214
    4115 ÷ 16384     		y = 0.25115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25115966796875 × 2 - 1) × π
    0.4976806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56350991800775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56350991800775))-π/2
    2×atan(4.77555366505487)-π/2
    2×1.36437904752701-π/2
    2.72875809505403-1.57079632675     		φ = 1.15796177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15796177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.346322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7572 KachelY 4115 -0.23776702 1.15796177 -13.623047 66.346322
    Oben rechts KachelX + 1 7573 KachelY 4115 -0.23738353 1.15796177 -13.601074 66.346322
    Unten links KachelX 7572 KachelY + 1 4116 -0.23776702 1.15780788 -13.623047 66.337505
    Unten rechts KachelX + 1 7573 KachelY + 1 4116 -0.23738353 1.15780788 -13.601074 66.337505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15796177-1.15780788) × R
    0.00015388999999999 × 6371000     		dl = 980.433189999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15796177-1.15780788) × R
    0.00015388999999999 × 6371000     		dr = 980.433189999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23738353) × cos(1.15796177) × R
    0.000383489999999986 × 0.401207354208718 × 6371000     		do = 980.235741659474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23738353) × cos(1.15780788) × R
    0.000383489999999986 × 0.40134831073675 × 6371000     		du = 980.580128733508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15796177)-sin(1.15780788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401207354208718-0.40134831073675)×R²
    abs(-0.23738353--0.23776702)×0.000140956528031699×R²
    0.000383489999999986×0.000140956528031699×6371000²
    0.000383489999999986×0.000140956528031699×40589641000000     		ar = 961224.481303598m²