Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75719 / 56609
↖ ↑ ↗
← N 23.802937°
E 27.968445°		 ← 279.45 m → N 23.802937°
E 27.971192°		 →
↑
279.43 m
↓
↑
279.43 m
↓
N 23.800424°
E 27.968445°		 ← 279.45 m →
78 087 m²		 N 23.800424°
E 27.971192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577693939208984 y=0.431896209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577693939208984 × 217)
    floor (0.577693939208984 × 131072)
    floor (75719.5)     		tx = 75719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431896209716797 × 217)
    floor (0.431896209716797 × 131072)
    floor (56609.5)     		ty = 56609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75719 / 56609 ti = "17/75719/56609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75719/56609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75719 ÷ 217
    75719 ÷ 131072     		x = 0.577690124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56609 ÷ 217
    56609 ÷ 131072     		y = 0.431892395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577690124511719 × 2 - 1) × π
    0.155380249023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.48814145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431892395019531 × 2 - 1) × π
    0.136215209960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.427932702908241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48814145} λ = 0.48814145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427932702908241))-π/2
    2×atan(1.53408283818012)-π/2
    2×0.993117971761149-π/2
    1.9862359435223-1.57079632675     		φ = 0.41543962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48814145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.968445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41543962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.802937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75719 KachelY 56609 0.48814145 0.41543962 27.968445 23.802937
    Oben rechts KachelX + 1 75720 KachelY 56609 0.48818939 0.41543962 27.971192 23.802937
    Unten links KachelX 75719 KachelY + 1 56610 0.48814145 0.41539576 27.968445 23.800424
    Unten rechts KachelX + 1 75720 KachelY + 1 56610 0.48818939 0.41539576 27.971192 23.800424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41543962-0.41539576) × R
    4.38600000000067e-05 × 6371000     		dl = 279.432060000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41543962-0.41539576) × R
    4.38600000000067e-05 × 6371000     		dr = 279.432060000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48814145-0.48818939) × cos(0.41543962) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914938981712828 × 6371000     		do = 279.445915544627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48814145-0.48818939) × cos(0.41539576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914956682386454 × 6371000     		du = 279.451321785968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41543962)-sin(0.41539576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914938981712828-0.914956682386454)×R²
    abs(0.48818939-0.48814145)×1.77006736264973e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77006736264973e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77006736264973e-05×40589641000000     		ar = 78086.9031903072m²