Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75718 / 56397
↖ ↑ ↗
← N 24.334584°
E 27.965698°		 ← 278.29 m → N 24.334584°
E 27.968445°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
N 24.332082°
E 27.965698°		 ← 278.30 m →
77 445 m²		 N 24.332082°
E 27.968445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577686309814453 y=0.430278778076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577686309814453 × 217)
    floor (0.577686309814453 × 131072)
    floor (75718.5)     		tx = 75718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430278778076172 × 217)
    floor (0.430278778076172 × 131072)
    floor (56397.5)     		ty = 56397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75718 / 56397 ti = "17/75718/56397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75718/56397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75718 ÷ 217
    75718 ÷ 131072     		x = 0.577682495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56397 ÷ 217
    56397 ÷ 131072     		y = 0.430274963378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577682495117188 × 2 - 1) × π
    0.155364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48809351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430274963378906 × 2 - 1) × π
    0.139450073242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.438095325627693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48809351} λ = 0.48809351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438095325627693))-π/2
    2×atan(1.54975263152082)-π/2
    2×0.997757473735034-π/2
    1.99551494747007-1.57079632675     		φ = 0.42471862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48809351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.965698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42471862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.334584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75718 KachelY 56397 0.48809351 0.42471862 27.965698 24.334584
    Oben rechts KachelX + 1 75719 KachelY 56397 0.48814145 0.42471862 27.968445 24.334584
    Unten links KachelX 75718 KachelY + 1 56398 0.48809351 0.42467494 27.965698 24.332082
    Unten rechts KachelX + 1 75719 KachelY + 1 56398 0.48814145 0.42467494 27.968445 24.332082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42471862-0.42467494) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dl = 278.285279999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42471862-0.42467494) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dr = 278.285279999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48809351-0.48814145) × cos(0.42471862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911154715708459 × 6371000     		do = 278.290103299563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48809351-0.48814145) × cos(0.42467494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911172713812987 × 6371000     		du = 278.295600383957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42471862)-sin(0.42467494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911154715708459-0.911172713812987)×R²
    abs(0.48814145-0.48809351)×1.7998104528516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7998104528516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7998104528516e-05×40589641000000     		ar = 77444.8042091315m²