Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75714 / 54719
↖ ↑ ↗
← N 28.461448°
E 27.954712°		 ← 268.51 m → N 28.461448°
E 27.957458°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
N 28.459033°
E 27.954712°		 ← 268.52 m →
72 089 m²		 N 28.459033°
E 27.957458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577655792236328 y=0.417476654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577655792236328 × 217)
    floor (0.577655792236328 × 131072)
    floor (75714.5)     		tx = 75714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417476654052734 × 217)
    floor (0.417476654052734 × 131072)
    floor (54719.5)     		ty = 54719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75714 / 54719 ti = "17/75714/54719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75714/54719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75714 ÷ 217
    75714 ÷ 131072     		x = 0.577651977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54719 ÷ 217
    54719 ÷ 131072     		y = 0.417472839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577651977539062 × 2 - 1) × π
    0.155303955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48790176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417472839355469 × 2 - 1) × π
    0.165054321289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.518533443190147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48790176} λ = 0.48790176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518533443190147))-π/2
    2×atan(1.67956266855411)-π/2
    2×1.03377114927012-π/2
    2.06754229854024-1.57079632675     		φ = 0.49674597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48790176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.954712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49674597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.461448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75714 KachelY 54719 0.48790176 0.49674597 27.954712 28.461448
    Oben rechts KachelX + 1 75715 KachelY 54719 0.48794970 0.49674597 27.957458 28.461448
    Unten links KachelX 75714 KachelY + 1 54720 0.48790176 0.49670383 27.954712 28.459033
    Unten rechts KachelX + 1 75715 KachelY + 1 54720 0.48794970 0.49670383 27.957458 28.459033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49674597-0.49670383) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dl = 268.473939999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49674597-0.49670383) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dr = 268.473939999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48790176-0.48794970) × cos(0.49674597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879137977992509 × 6371000     		do = 268.51136749029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48790176-0.48794970) × cos(0.49670383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879158059759019 × 6371000     		du = 268.517500978686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49674597)-sin(0.49670383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879137977992509-0.879158059759019)×R²
    abs(0.48794970-0.48790176)×2.00817665092501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00817665092501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00817665092501e-05×40589641000000     		ar = 72089.1281164758m²