Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75713 / 55505
↖ ↑ ↗
← N 26.546766°
E 27.951965°		 ← 273.17 m → N 26.546766°
E 27.954712°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
N 26.544308°
E 27.951965°		 ← 273.17 m →
74 644 m²		 N 26.544308°
E 27.954712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577648162841797 y=0.423473358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577648162841797 × 217)
    floor (0.577648162841797 × 131072)
    floor (75713.5)     		tx = 75713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423473358154297 × 217)
    floor (0.423473358154297 × 131072)
    floor (55505.5)     		ty = 55505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75713 / 55505 ti = "17/75713/55505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75713/55505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75713 ÷ 217
    75713 ÷ 131072     		x = 0.577644348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55505 ÷ 217
    55505 ÷ 131072     		y = 0.423469543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577644348144531 × 2 - 1) × π
    0.155288696289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.48785383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423469543457031 × 2 - 1) × π
    0.153060913085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.480855040088783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48785383} λ = 0.48785383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480855040088783))-π/2
    2×atan(1.61745680151242)-π/2
    2×1.01706239608071-π/2
    2.03412479216142-1.57079632675     		φ = 0.46332847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48785383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.951965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46332847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.546766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75713 KachelY 55505 0.48785383 0.46332847 27.951965 26.546766
    Oben rechts KachelX + 1 75714 KachelY 55505 0.48790176 0.46332847 27.954712 26.546766
    Unten links KachelX 75713 KachelY + 1 55506 0.48785383 0.46328558 27.951965 26.544308
    Unten rechts KachelX + 1 75714 KachelY + 1 55506 0.48790176 0.46328558 27.954712 26.544308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46332847-0.46328558) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46332847-0.46328558) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48785383-0.48790176) × cos(0.46332847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894569868748937 × 6371000     		do = 273.167671098176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48785383-0.48790176) × cos(0.46328558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894589036673457 × 6371000     		du = 273.173524254518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46332847)-sin(0.46328558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894569868748937-0.894589036673457)×R²
    abs(0.48790176-0.48785383)×1.91679245199472e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91679245199472e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91679245199472e-05×40589641000000     		ar = 74644.4640701826m²