Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75711 / 56524
↖ ↑ ↗
← N 24.016362°
E 27.946472°		 ← 278.98 m → N 24.016362°
E 27.949219°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 24.013853°
E 27.946472°		 ← 278.99 m →
77 834 m²		 N 24.013853°
E 27.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577632904052734 y=0.431247711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577632904052734 × 217)
    floor (0.577632904052734 × 131072)
    floor (75711.5)     		tx = 75711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431247711181641 × 217)
    floor (0.431247711181641 × 131072)
    floor (56524.5)     		ty = 56524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75711 / 56524 ti = "17/75711/56524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75711/56524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75711 ÷ 217
    75711 ÷ 131072     		x = 0.577629089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56524 ÷ 217
    56524 ÷ 131072     		y = 0.431243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577629089355469 × 2 - 1) × π
    0.155258178710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48775795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431243896484375 × 2 - 1) × π
    0.13751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.432007339375946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48775795} λ = 0.48775795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432007339375946))-π/2
    2×atan(1.54034642030111)-π/2
    2×0.994980457481022-π/2
    1.98996091496204-1.57079632675     		φ = 0.41916459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48775795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.946472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41916459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.016362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75711 KachelY 56524 0.48775795 0.41916459 27.946472 24.016362
    Oben rechts KachelX + 1 75712 KachelY 56524 0.48780589 0.41916459 27.949219 24.016362
    Unten links KachelX 75711 KachelY + 1 56525 0.48775795 0.41912080 27.946472 24.013853
    Unten rechts KachelX + 1 75712 KachelY + 1 56525 0.48780589 0.41912080 27.949219 24.013853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41916459-0.41912080) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dl = 278.986089999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41916459-0.41912080) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dr = 278.986089999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48775795-0.48780589) × cos(0.41916459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913429268805903 × 6371000     		do = 278.984810362842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48775795-0.48780589) × cos(0.41912080) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913447090350959 × 6371000     		du = 278.990253521429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41916459)-sin(0.41912080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913429268805903-0.913447090350959)×R²
    abs(0.48780589-0.48775795)×1.78215450562513e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78215450562513e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78215450562513e-05×40589641000000     		ar = 77833.6407077166m²