Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75710 / 61406
↖ ↑ ↗
← N 11.270000°
E 27.943726°		 ← 299.47 m → N 11.270000°
E 27.946472°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.267306°
E 27.943726°		 ← 299.48 m →
89 693 m²		 N 11.267306°
E 27.946472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577625274658203 y=0.468494415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577625274658203 × 217)
    floor (0.577625274658203 × 131072)
    floor (75710.5)     		tx = 75710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468494415283203 × 217)
    floor (0.468494415283203 × 131072)
    floor (61406.5)     		ty = 61406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75710 / 61406 ti = "17/75710/61406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75710/61406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75710 ÷ 217
    75710 ÷ 131072     		x = 0.577621459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61406 ÷ 217
    61406 ÷ 131072     		y = 0.468490600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577621459960938 × 2 - 1) × π
    0.155242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48771002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468490600585938 × 2 - 1) × π
    0.063018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.197979395430832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48771002} λ = 0.48771002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.197979395430832))-π/2
    2×atan(1.21893727788544)-π/2
    2×0.883747462407605-π/2
    1.76749492481521-1.57079632675     		φ = 0.19669860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48771002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.943726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19669860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.270000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75710 KachelY 61406 0.48771002 0.19669860 27.943726 11.270000
    Oben rechts KachelX + 1 75711 KachelY 61406 0.48775795 0.19669860 27.946472 11.270000
    Unten links KachelX 75710 KachelY + 1 61407 0.48771002 0.19665159 27.943726 11.267306
    Unten rechts KachelX + 1 75711 KachelY + 1 61407 0.48775795 0.19665159 27.946472 11.267306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19669860-0.19665159) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19669860-0.19665159) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48771002-0.48775795) × cos(0.19669860) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980717122591951 × 6371000     		do = 299.473771410273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48771002-0.48775795) × cos(0.19665159) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.980726308797734 × 6371000     		du = 299.476576528719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19669860)-sin(0.19665159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980717122591951-0.980726308797734)×R²
    abs(0.48775795-0.48771002)×9.18620578371776e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.18620578371776e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.18620578371776e-06×40589641000000     		ar = 89693.0272477788m²