Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75710 / 60993
↖ ↑ ↗
← N 12.380246°
E 27.943726°		 ← 298.26 m → N 12.380246°
E 27.946472°		 →
↑
298.29 m
↓
↑
298.29 m
↓
N 12.377563°
E 27.943726°		 ← 298.26 m →
88 969 m²		 N 12.377563°
E 27.946472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577625274658203 y=0.465343475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577625274658203 × 217)
    floor (0.577625274658203 × 131072)
    floor (75710.5)     		tx = 75710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465343475341797 × 217)
    floor (0.465343475341797 × 131072)
    floor (60993.5)     		ty = 60993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75710 / 60993 ti = "17/75710/60993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75710/60993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75710 ÷ 217
    75710 ÷ 131072     		x = 0.577621459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60993 ÷ 217
    60993 ÷ 131072     		y = 0.465339660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577621459960938 × 2 - 1) × π
    0.155242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48771002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465339660644531 × 2 - 1) × π
    0.0693206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.217777334973915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48771002} λ = 0.48771002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217777334973915))-π/2
    2×atan(1.24331019509827)-π/2
    2×0.893436187693654-π/2
    1.78687237538731-1.57079632675     		φ = 0.21607605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48771002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.943726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21607605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.380246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75710 KachelY 60993 0.48771002 0.21607605 27.943726 12.380246
    Oben rechts KachelX + 1 75711 KachelY 60993 0.48775795 0.21607605 27.946472 12.380246
    Unten links KachelX 75710 KachelY + 1 60994 0.48771002 0.21602923 27.943726 12.377563
    Unten rechts KachelX + 1 75711 KachelY + 1 60994 0.48775795 0.21602923 27.946472 12.377563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21607605-0.21602923) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dl = 298.290220000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21607605-0.21602923) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dr = 298.290220000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48771002-0.48775795) × cos(0.21607605) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.976746256138524 × 6371000     		do = 298.261219569197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48771002-0.48775795) × cos(0.21602923) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.976756293209468 × 6371000     		du = 298.264284509556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21607605)-sin(0.21602923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976746256138524-0.976756293209468)×R²
    abs(0.48775795-0.48771002)×1.00370709446018e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.00370709446018e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.00370709446018e-05×40589641000000     		ar = 88968.8619398803m²