Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7571 / 3362
↖ ↑ ↗
← N 72.168352°
W 13.645020°		 ← 748.18 m → N 72.168352°
W 13.623047°		 →
↑
748.34 m
↓
↑
748.34 m
↓
N 72.161622°
W 13.645020°		 ← 748.46 m →
559 996 m²		 N 72.161622°
W 13.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462127685546875 y=0.205230712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462127685546875 × 214)
    floor (0.462127685546875 × 16384)
    floor (7571.5)     		tx = 7571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205230712890625 × 214)
    floor (0.205230712890625 × 16384)
    floor (3362.5)     		ty = 3362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7571 / 3362 ti = "14/7571/3362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7571/3362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7571 ÷ 214
    7571 ÷ 16384     		x = 0.46209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3362 ÷ 214
    3362 ÷ 16384     		y = 0.2052001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.0758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23815052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2052001953125 × 2 - 1) × π
    0.589599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23815052} λ = -0.23815052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85228180131897))-π/2
    2×atan(6.37434793635008)-π/2
    2×1.4151858379398-π/2
    2.8303716758796-1.57079632675     		φ = 1.25957535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23815052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25957535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.168352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7571 KachelY 3362 -0.23815052 1.25957535 -13.645020 72.168352
    Oben rechts KachelX + 1 7572 KachelY 3362 -0.23776702 1.25957535 -13.623047 72.168352
    Unten links KachelX 7571 KachelY + 1 3363 -0.23815052 1.25945789 -13.645020 72.161622
    Unten rechts KachelX + 1 7572 KachelY + 1 3363 -0.23776702 1.25945789 -13.623047 72.161622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25957535-1.25945789) × R
    0.000117460000000014 × 6371000     		dl = 748.337660000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25957535-1.25945789) × R
    0.000117460000000014 × 6371000     		dr = 748.337660000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23815052--0.23776702) × cos(1.25957535) × R
    0.000383500000000009 × 0.306221185956077 × 6371000     		do = 748.183639891002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23815052--0.23776702) × cos(1.25945789) × R
    0.000383500000000009 × 0.306333001110856 × 6371000     		du = 748.456835454647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25957535)-sin(1.25945789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306221185956077-0.306333001110856)×R²
    abs(-0.23776702--0.23815052)×0.000111815154778649×R²
    0.000383500000000009×0.000111815154778649×6371000²
    0.000383500000000009×0.000111815154778649×40589641000000     		ar = 559996.216234694m²