Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75709 / 61373
↖ ↑ ↗
← N 11.358875°
E 27.940979°		 ← 299.44 m → N 11.358875°
E 27.943726°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
N 11.356182°
E 27.940979°		 ← 299.45 m →
89 665 m²		 N 11.356182°
E 27.943726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577617645263672 y=0.468242645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577617645263672 × 217)
    floor (0.577617645263672 × 131072)
    floor (75709.5)     		tx = 75709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468242645263672 × 217)
    floor (0.468242645263672 × 131072)
    floor (61373.5)     		ty = 61373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75709 / 61373 ti = "17/75709/61373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75709/61373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75709 ÷ 217
    75709 ÷ 131072     		x = 0.577613830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61373 ÷ 217
    61373 ÷ 131072     		y = 0.468238830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577613830566406 × 2 - 1) × π
    0.155227661132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48766208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468238830566406 × 2 - 1) × π
    0.0635223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.199561313118294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48766208} λ = 0.48766208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.199561313118294))-π/2
    2×atan(1.22086706230285)-π/2
    2×0.884523049082385-π/2
    1.76904609816477-1.57079632675     		φ = 0.19824977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48766208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.940979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19824977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.358875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75709 KachelY 61373 0.48766208 0.19824977 27.940979 11.358875
    Oben rechts KachelX + 1 75710 KachelY 61373 0.48771002 0.19824977 27.943726 11.358875
    Unten links KachelX 75709 KachelY + 1 61374 0.48766208 0.19820277 27.940979 11.356182
    Unten rechts KachelX + 1 75710 KachelY + 1 61374 0.48771002 0.19820277 27.943726 11.356182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19824977-0.19820277) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dl = 299.436999999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19824977-0.19820277) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dr = 299.436999999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48766208-0.48771002) × cos(0.19824977) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980412793565485 × 6371000     		do = 299.443302980356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48766208-0.48771002) × cos(0.19820277) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980422049305832 × 6371000     		du = 299.446129921701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19824977)-sin(0.19820277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980412793565485-0.980422049305832)×R²
    abs(0.48771002-0.48766208)×9.25574034693621e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.25574034693621e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.25574034693621e-06×40589641000000     		ar = 89664.8275764308m²