Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75709 / 56555
↖ ↑ ↗
← N 23.938565°
E 27.940979°		 ← 279.15 m → N 23.938565°
E 27.943726°		 →
↑
279.11 m
↓
↑
279.11 m
↓
N 23.936055°
E 27.940979°		 ← 279.16 m →
77 916 m²		 N 23.936055°
E 27.943726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577617645263672 y=0.431484222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577617645263672 × 217)
    floor (0.577617645263672 × 131072)
    floor (75709.5)     		tx = 75709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431484222412109 × 217)
    floor (0.431484222412109 × 131072)
    floor (56555.5)     		ty = 56555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75709 / 56555 ti = "17/75709/56555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75709/56555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75709 ÷ 217
    75709 ÷ 131072     		x = 0.577613830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56555 ÷ 217
    56555 ÷ 131072     		y = 0.431480407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577613830566406 × 2 - 1) × π
    0.155227661132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48766208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431480407714844 × 2 - 1) × π
    0.137039184570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.430521295487724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48766208} λ = 0.48766208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430521295487724))-π/2
    2×atan(1.53805909786916)-π/2
    2×0.994301554412789-π/2
    1.98860310882558-1.57079632675     		φ = 0.41780678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48766208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.940979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41780678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.938565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75709 KachelY 56555 0.48766208 0.41780678 27.940979 23.938565
    Oben rechts KachelX + 1 75710 KachelY 56555 0.48771002 0.41780678 27.943726 23.938565
    Unten links KachelX 75709 KachelY + 1 56556 0.48766208 0.41776297 27.940979 23.936055
    Unten rechts KachelX + 1 75710 KachelY + 1 56556 0.48771002 0.41776297 27.943726 23.936055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41780678-0.41776297) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dl = 279.113509999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41780678-0.41776297) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dr = 279.113509999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48766208-0.48771002) × cos(0.41780678) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913981051900491 × 6371000     		do = 279.153339122826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48766208-0.48771002) × cos(0.41776297) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913998827231809 × 6371000     		du = 279.158768166548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41780678)-sin(0.41776297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913981051900491-0.913998827231809)×R²
    abs(0.48771002-0.48766208)×1.77753313173046e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77753313173046e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77753313173046e-05×40589641000000     		ar = 77916.2259829241m²