Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75708 / 61418
↖ ↑ ↗
← N 11.237674°
E 27.938232°		 ← 299.57 m → N 11.237674°
E 27.940979°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
N 11.234980°
E 27.938232°		 ← 299.57 m →
89 741 m²		 N 11.234980°
E 27.940979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577610015869141 y=0.468585968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577610015869141 × 217)
    floor (0.577610015869141 × 131072)
    floor (75708.5)     		tx = 75708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468585968017578 × 217)
    floor (0.468585968017578 × 131072)
    floor (61418.5)     		ty = 61418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75708 / 61418 ti = "17/75708/61418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75708/61418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75708 ÷ 217
    75708 ÷ 131072     		x = 0.577606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61418 ÷ 217
    61418 ÷ 131072     		y = 0.468582153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577606201171875 × 2 - 1) × π
    0.15521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48761414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468582153320312 × 2 - 1) × π
    0.062835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.197404152635391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48761414} λ = 0.48761414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.197404152635391))-π/2
    2×atan(1.21823629463535)-π/2
    2×0.883465371336674-π/2
    1.76693074267335-1.57079632675     		φ = 0.19613442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48761414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.938232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19613442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.237674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75708 KachelY 61418 0.48761414 0.19613442 27.938232 11.237674
    Oben rechts KachelX + 1 75709 KachelY 61418 0.48766208 0.19613442 27.940979 11.237674
    Unten links KachelX 75708 KachelY + 1 61419 0.48761414 0.19608740 27.938232 11.234980
    Unten rechts KachelX + 1 75709 KachelY + 1 61419 0.48766208 0.19608740 27.940979 11.234980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19613442-0.19608740) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19613442-0.19608740) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48761414-0.48766208) × cos(0.19613442) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980827225704791 × 6371000     		do = 299.569881223183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48761414-0.48766208) × cos(0.19608740) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.980836387846645 × 6371000     		du = 299.572679577139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19613442)-sin(0.19608740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980827225704791-0.980836387846645)×R²
    abs(0.48766208-0.48761414)×9.16214185398001e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.16214185398001e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.16214185398001e-06×40589641000000     		ar = 89740.8968782786m²