Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75708 / 54722
↖ ↑ ↗
← N 28.454204°
E 27.938232°		 ← 268.53 m → N 28.454204°
E 27.940979°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
N 28.451789°
E 27.938232°		 ← 268.54 m →
72 111 m²		 N 28.451789°
E 27.940979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577610015869141 y=0.417499542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577610015869141 × 217)
    floor (0.577610015869141 × 131072)
    floor (75708.5)     		tx = 75708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417499542236328 × 217)
    floor (0.417499542236328 × 131072)
    floor (54722.5)     		ty = 54722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75708 / 54722 ti = "17/75708/54722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75708/54722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75708 ÷ 217
    75708 ÷ 131072     		x = 0.577606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54722 ÷ 217
    54722 ÷ 131072     		y = 0.417495727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577606201171875 × 2 - 1) × π
    0.15521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48761414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417495727539062 × 2 - 1) × π
    0.165008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.518389632491287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48761414} λ = 0.48761414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518389632491287))-π/2
    2×atan(1.67932114684008)-π/2
    2×1.03370793238057-π/2
    2.06741586476114-1.57079632675     		φ = 0.49661954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48761414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.938232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49661954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.454204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75708 KachelY 54722 0.48761414 0.49661954 27.938232 28.454204
    Oben rechts KachelX + 1 75709 KachelY 54722 0.48766208 0.49661954 27.940979 28.454204
    Unten links KachelX 75708 KachelY + 1 54723 0.48761414 0.49657739 27.938232 28.451789
    Unten rechts KachelX + 1 75709 KachelY + 1 54723 0.48766208 0.49657739 27.940979 28.451789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49661954-0.49657739) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dl = 268.537650000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49661954-0.49657739) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dr = 268.537650000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48761414-0.48766208) × cos(0.49661954) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879198223372991 × 6371000     		do = 268.529767980516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48761414-0.48766208) × cos(0.49657739) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879218305219641 × 6371000     		du = 268.535901493389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49661954)-sin(0.49657739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879198223372991-0.879218305219641)×R²
    abs(0.48766208-0.48761414)×2.0081846650144e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0081846650144e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0081846650144e-05×40589641000000     		ar = 72111.1763987762m²