Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75707 / 54727
↖ ↑ ↗
← N 28.442129°
E 27.935486°		 ← 268.50 m → N 28.442129°
E 27.938232°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
N 28.439714°
E 27.935486°		 ← 268.51 m →
72 121 m²		 N 28.439714°
E 27.938232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577602386474609 y=0.417537689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577602386474609 × 217)
    floor (0.577602386474609 × 131072)
    floor (75707.5)     		tx = 75707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417537689208984 × 217)
    floor (0.417537689208984 × 131072)
    floor (54727.5)     		ty = 54727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75707 / 54727 ti = "17/75707/54727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75707/54727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75707 ÷ 217
    75707 ÷ 131072     		x = 0.577598571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54727 ÷ 217
    54727 ÷ 131072     		y = 0.417533874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577598571777344 × 2 - 1) × π
    0.155197143554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.48756621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417533874511719 × 2 - 1) × π
    0.164932250976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.518149947993187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48756621} λ = 0.48756621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518149947993187))-π/2
    2×atan(1.67891868782737)-π/2
    2×1.03360256127225-π/2
    2.06720512254451-1.57079632675     		φ = 0.49640880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48756621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.935486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49640880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.442129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75707 KachelY 54727 0.48756621 0.49640880 27.935486 28.442129
    Oben rechts KachelX + 1 75708 KachelY 54727 0.48761414 0.49640880 27.938232 28.442129
    Unten links KachelX 75707 KachelY + 1 54728 0.48756621 0.49636664 27.935486 28.439714
    Unten rechts KachelX + 1 75708 KachelY + 1 54728 0.48761414 0.49636664 27.938232 28.439714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49640880-0.49636664) × R
    4.21599999999578e-05 × 6371000     		dl = 268.601359999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49640880-0.49636664) × R
    4.21599999999578e-05 × 6371000     		dr = 268.601359999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48756621-0.48761414) × cos(0.49640880) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879298612222786 × 6371000     		do = 268.504409204386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48756621-0.48761414) × cos(0.49636664) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879318691021593 × 6371000     		du = 268.51054050715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49640880)-sin(0.49636664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879298612222786-0.879318691021593)×R²
    abs(0.48761414-0.48756621)×2.0078798807166e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0078798807166e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0078798807166e-05×40589641000000     		ar = 72121.4729270393m²