Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75707 / 54724
↖ ↑ ↗
← N 28.449374°
E 27.935486°		 ← 268.49 m → N 28.449374°
E 27.938232°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
N 28.446959°
E 27.935486°		 ← 268.49 m →
72 082 m²		 N 28.446959°
E 27.938232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577602386474609 y=0.417514801025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577602386474609 × 217)
    floor (0.577602386474609 × 131072)
    floor (75707.5)     		tx = 75707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417514801025391 × 217)
    floor (0.417514801025391 × 131072)
    floor (54724.5)     		ty = 54724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75707 / 54724 ti = "17/75707/54724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75707/54724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75707 ÷ 217
    75707 ÷ 131072     		x = 0.577598571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54724 ÷ 217
    54724 ÷ 131072     		y = 0.417510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577598571777344 × 2 - 1) × π
    0.155197143554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.48756621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417510986328125 × 2 - 1) × π
    0.16497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.518293758692047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48756621} λ = 0.48756621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518293758692047))-π/2
    2×atan(1.67916015165932)-π/2
    2×1.03366578538097-π/2
    2.06733157076194-1.57079632675     		φ = 0.49653524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48756621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.935486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49653524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.449374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75707 KachelY 54724 0.48756621 0.49653524 27.935486 28.449374
    Oben rechts KachelX + 1 75708 KachelY 54724 0.48761414 0.49653524 27.938232 28.449374
    Unten links KachelX 75707 KachelY + 1 54725 0.48756621 0.49649310 27.935486 28.446959
    Unten rechts KachelX + 1 75708 KachelY + 1 54725 0.48761414 0.49649310 27.938232 28.446959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49653524-0.49649310) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dl = 268.473939999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49653524-0.49649310) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dr = 268.473939999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48756621-0.48761414) × cos(0.49653524) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879238385504252 × 6371000     		do = 268.486018251354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48756621-0.48761414) × cos(0.49649310) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879258459463338 × 6371000     		du = 268.492148076251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49653524)-sin(0.49649310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879238385504252-0.879258459463338)×R²
    abs(0.48761414-0.48756621)×2.00739590864307e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.00739590864307e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.00739590864307e-05×40589641000000     		ar = 72082.3220145383m²