Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75706 / 56515
↖ ↑ ↗
← N 24.038939°
E 27.932739°		 ← 278.94 m → N 24.038939°
E 27.935486°		 →
↑
278.92 m
↓
↑
278.92 m
↓
N 24.036431°
E 27.932739°		 ← 278.94 m →
77 802 m²		 N 24.036431°
E 27.935486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577594757080078 y=0.431179046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577594757080078 × 217)
    floor (0.577594757080078 × 131072)
    floor (75706.5)     		tx = 75706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431179046630859 × 217)
    floor (0.431179046630859 × 131072)
    floor (56515.5)     		ty = 56515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75706 / 56515 ti = "17/75706/56515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75706/56515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75706 ÷ 217
    75706 ÷ 131072     		x = 0.577590942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56515 ÷ 217
    56515 ÷ 131072     		y = 0.431175231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577590942382812 × 2 - 1) × π
    0.155181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48751827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431175231933594 × 2 - 1) × π
    0.137649536132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.432438771472527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48751827} λ = 0.48751827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432438771472527))-π/2
    2×atan(1.54101111856245)-π/2
    2×0.995177481529934-π/2
    1.99035496305987-1.57079632675     		φ = 0.41955864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48751827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.932739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41955864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.038939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75706 KachelY 56515 0.48751827 0.41955864 27.932739 24.038939
    Oben rechts KachelX + 1 75707 KachelY 56515 0.48756621 0.41955864 27.935486 24.038939
    Unten links KachelX 75706 KachelY + 1 56516 0.48751827 0.41951486 27.932739 24.036431
    Unten rechts KachelX + 1 75707 KachelY + 1 56516 0.48756621 0.41951486 27.935486 24.036431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41955864-0.41951486) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dl = 278.922379999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41955864-0.41951486) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dr = 278.922379999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48751827-0.48756621) × cos(0.41955864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913268820525783 × 6371000     		do = 278.935805328154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48751827-0.48756621) × cos(0.41951486) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913286653758067 × 6371000     		du = 278.941252056322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41955864)-sin(0.41951486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913268820525783-0.913286653758067)×R²
    abs(0.48756621-0.48751827)×1.78332322843255e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78332322843255e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78332322843255e-05×40589641000000     		ar = 77802.1983089727m²