Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75706 / 54726
↖ ↑ ↗
← N 28.444544°
E 27.932739°		 ← 268.55 m → N 28.444544°
E 27.935486°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
N 28.442129°
E 27.932739°		 ← 268.56 m →
72 118 m²		 N 28.442129°
E 27.935486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577594757080078 y=0.417530059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577594757080078 × 217)
    floor (0.577594757080078 × 131072)
    floor (75706.5)     		tx = 75706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417530059814453 × 217)
    floor (0.417530059814453 × 131072)
    floor (54726.5)     		ty = 54726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75706 / 54726 ti = "17/75706/54726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75706/54726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75706 ÷ 217
    75706 ÷ 131072     		x = 0.577590942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54726 ÷ 217
    54726 ÷ 131072     		y = 0.417526245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577590942382812 × 2 - 1) × π
    0.155181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48751827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417526245117188 × 2 - 1) × π
    0.164947509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.518197884892807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48751827} λ = 0.48751827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518197884892807))-π/2
    2×atan(1.67899917191304)-π/2
    2×1.03362363645637-π/2
    2.06724727291273-1.57079632675     		φ = 0.49645095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48751827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.932739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49645095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.444544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75706 KachelY 54726 0.48751827 0.49645095 27.932739 28.444544
    Oben rechts KachelX + 1 75707 KachelY 54726 0.48756621 0.49645095 27.935486 28.444544
    Unten links KachelX 75706 KachelY + 1 54727 0.48751827 0.49640880 27.932739 28.442129
    Unten rechts KachelX + 1 75707 KachelY + 1 54727 0.48756621 0.49640880 27.935486 28.442129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49645095-0.49640880) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dl = 268.537650000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49645095-0.49640880) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dr = 268.537650000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48751827-0.48756621) × cos(0.49645095) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879278536624135 × 6371000     		do = 268.554297714679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48751827-0.48756621) × cos(0.49640880) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879298612222786 × 6371000     		du = 268.560429319252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49645095)-sin(0.49640880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879278536624135-0.879298612222786)×R²
    abs(0.48756621-0.48751827)×2.00755986505818e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00755986505818e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00755986505818e-05×40589641000000     		ar = 72117.7632997772m²