Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75705 / 56526
↖ ↑ ↗
← N 24.011344°
E 27.929993°		 ← 279 m → N 24.011344°
E 27.932739°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 24.008835°
E 27.929993°		 ← 279 m →
77 837 m²		 N 24.008835°
E 27.932739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577587127685547 y=0.431262969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577587127685547 × 217)
    floor (0.577587127685547 × 131072)
    floor (75705.5)     		tx = 75705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431262969970703 × 217)
    floor (0.431262969970703 × 131072)
    floor (56526.5)     		ty = 56526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75705 / 56526 ti = "17/75705/56526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75705/56526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75705 ÷ 217
    75705 ÷ 131072     		x = 0.577583312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56526 ÷ 217
    56526 ÷ 131072     		y = 0.431259155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577583312988281 × 2 - 1) × π
    0.155166625976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48747033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431259155273438 × 2 - 1) × π
    0.137481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.431911465576706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48747033} λ = 0.48747033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431911465576706))-π/2
    2×atan(1.54019874851669)-π/2
    2×0.99493666965957-π/2
    1.98987333931914-1.57079632675     		φ = 0.41907701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48747033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.929993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41907701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.011344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75705 KachelY 56526 0.48747033 0.41907701 27.929993 24.011344
    Oben rechts KachelX + 1 75706 KachelY 56526 0.48751827 0.41907701 27.932739 24.011344
    Unten links KachelX 75705 KachelY + 1 56527 0.48747033 0.41903322 27.929993 24.008835
    Unten rechts KachelX + 1 75706 KachelY + 1 56527 0.48751827 0.41903322 27.932739 24.008835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41907701-0.41903322) × R
    4.37900000000435e-05 × 6371000     		dl = 278.986090000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41907701-0.41903322) × R
    4.37900000000435e-05 × 6371000     		dr = 278.986090000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48747033-0.48751827) × cos(0.41907701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913464910144422 × 6371000     		do = 278.995696144711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48747033-0.48751827) × cos(0.41903322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913482728186257 × 6371000     		du = 279.001138233324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41907701)-sin(0.41903322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913464910144422-0.913482728186257)×R²
    abs(0.48751827-0.48747033)×1.78180418353158e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78180418353158e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78180418353158e-05×40589641000000     		ar = 77836.6775402547m²