Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75701 / 55827
↖ ↑ ↗
← N 25.752898°
E 27.919006°		 ← 275.09 m → N 25.752898°
E 27.921753°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
N 25.750425°
E 27.919006°		 ← 275.10 m →
75 660 m²		 N 25.750425°
E 27.921753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577556610107422 y=0.425930023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577556610107422 × 217)
    floor (0.577556610107422 × 131072)
    floor (75701.5)     		tx = 75701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425930023193359 × 217)
    floor (0.425930023193359 × 131072)
    floor (55827.5)     		ty = 55827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75701 / 55827 ti = "17/75701/55827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75701/55827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75701 ÷ 217
    75701 ÷ 131072     		x = 0.577552795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55827 ÷ 217
    55827 ÷ 131072     		y = 0.425926208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577552795410156 × 2 - 1) × π
    0.155105590820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.48727858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425926208496094 × 2 - 1) × π
    0.148147583007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.465419358411125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48727858} λ = 0.48727858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465419358411125))-π/2
    2×atan(1.5926819534344)-π/2
    2×1.01013460001695-π/2
    2.02026920003391-1.57079632675     		φ = 0.44947287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48727858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.919006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44947287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.752898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75701 KachelY 55827 0.48727858 0.44947287 27.919006 25.752898
    Oben rechts KachelX + 1 75702 KachelY 55827 0.48732652 0.44947287 27.921753 25.752898
    Unten links KachelX 75701 KachelY + 1 55828 0.48727858 0.44942970 27.919006 25.750425
    Unten rechts KachelX + 1 75702 KachelY + 1 55828 0.48732652 0.44942970 27.921753 25.750425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44947287-0.44942970) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44947287-0.44942970) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48727858-0.48732652) × cos(0.44947287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900676260622224 × 6371000     		do = 275.089713400795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48727858-0.48732652) × cos(0.44942970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900695016751689 × 6371000     		du = 275.095442005517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44947287)-sin(0.44942970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900676260622224-0.900695016751689)×R²
    abs(0.48732652-0.48727858)×1.8756129465558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8756129465558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8756129465558e-05×40589641000000     		ar = 75660.3814695502m²