Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75699 / 56559
↖ ↑ ↗
← N 23.928523°
E 27.913513°		 ← 279.18 m → N 23.928523°
E 27.916260°		 →
↑
279.18 m
↓
↑
279.18 m
↓
N 23.926013°
E 27.913513°		 ← 279.18 m →
77 940 m²		 N 23.926013°
E 27.916260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577541351318359 y=0.431514739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577541351318359 × 217)
    floor (0.577541351318359 × 131072)
    floor (75699.5)     		tx = 75699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431514739990234 × 217)
    floor (0.431514739990234 × 131072)
    floor (56559.5)     		ty = 56559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75699 / 56559 ti = "17/75699/56559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75699/56559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75699 ÷ 217
    75699 ÷ 131072     		x = 0.577537536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56559 ÷ 217
    56559 ÷ 131072     		y = 0.431510925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577537536621094 × 2 - 1) × π
    0.155075073242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.48718271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431510925292969 × 2 - 1) × π
    0.136978149414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.430329547889244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48718271} λ = 0.48718271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430329547889244))-π/2
    2×atan(1.53776420700404)-π/2
    2×0.994213924168538-π/2
    1.98842784833708-1.57079632675     		φ = 0.41763152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48718271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.913513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41763152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.928523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75699 KachelY 56559 0.48718271 0.41763152 27.913513 23.928523
    Oben rechts KachelX + 1 75700 KachelY 56559 0.48723065 0.41763152 27.916260 23.928523
    Unten links KachelX 75699 KachelY + 1 56560 0.48718271 0.41758770 27.913513 23.926013
    Unten rechts KachelX + 1 75700 KachelY + 1 56560 0.48723065 0.41758770 27.916260 23.926013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41763152-0.41758770) × R
    4.38199999999722e-05 × 6371000     		dl = 279.177219999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41763152-0.41758770) × R
    4.38199999999722e-05 × 6371000     		dr = 279.177219999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48718271-0.48723065) × cos(0.41763152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914052150812042 × 6371000     		do = 279.175054560176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48718271-0.48723065) × cos(0.41758770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91406992318091 × 6371000     		du = 279.180482699089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41763152)-sin(0.41758770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914052150812042-0.91406992318091)×R²
    abs(0.48723065-0.48718271)×1.77723688674636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77723688674636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77723688674636e-05×40589641000000     		ar = 77940.0733442748m²