Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75698 / 56529
↖ ↑ ↗
← N 24.003817°
E 27.910766°		 ← 279.01 m → N 24.003817°
E 27.913513°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 24.001308°
E 27.910766°		 ← 279.02 m →
77 841 m²		 N 24.001308°
E 27.913513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577533721923828 y=0.431285858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577533721923828 × 217)
    floor (0.577533721923828 × 131072)
    floor (75698.5)     		tx = 75698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431285858154297 × 217)
    floor (0.431285858154297 × 131072)
    floor (56529.5)     		ty = 56529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75698 / 56529 ti = "17/75698/56529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75698/56529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75698 ÷ 217
    75698 ÷ 131072     		x = 0.577529907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56529 ÷ 217
    56529 ÷ 131072     		y = 0.431282043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577529907226562 × 2 - 1) × π
    0.155059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48713477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431282043457031 × 2 - 1) × π
    0.137435913085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.431767654877846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48713477} λ = 0.48713477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431767654877846))-π/2
    2×atan(1.53997726738434)-π/2
    2×0.994870984724384-π/2
    1.98974196944877-1.57079632675     		φ = 0.41894564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48713477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.910766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41894564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.003817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75698 KachelY 56529 0.48713477 0.41894564 27.910766 24.003817
    Oben rechts KachelX + 1 75699 KachelY 56529 0.48718271 0.41894564 27.913513 24.003817
    Unten links KachelX 75698 KachelY + 1 56530 0.48713477 0.41890185 27.910766 24.001308
    Unten rechts KachelX + 1 75699 KachelY + 1 56530 0.48718271 0.41890185 27.913513 24.001308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41894564-0.41890185) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dl = 278.986089999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41894564-0.41890185) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dr = 278.986089999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48713477-0.48718271) × cos(0.41894564) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913518359014909 × 6371000     		do = 279.012020805854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48713477-0.48718271) × cos(0.41890185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913536171801656 × 6371000     		du = 279.017461289428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41894564)-sin(0.41890185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913518359014909-0.913536171801656)×R²
    abs(0.48718271-0.48713477)×1.78127867477285e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78127867477285e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78127867477285e-05×40589641000000     		ar = 77841.2316696334m²