Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75698 / 56525
↖ ↑ ↗
← N 24.013853°
E 27.910766°		 ← 278.99 m → N 24.013853°
E 27.913513°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 24.011344°
E 27.910766°		 ← 279 m →
77 835 m²		 N 24.011344°
E 27.913513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577533721923828 y=0.431255340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577533721923828 × 217)
    floor (0.577533721923828 × 131072)
    floor (75698.5)     		tx = 75698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431255340576172 × 217)
    floor (0.431255340576172 × 131072)
    floor (56525.5)     		ty = 56525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75698 / 56525 ti = "17/75698/56525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75698/56525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75698 ÷ 217
    75698 ÷ 131072     		x = 0.577529907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56525 ÷ 217
    56525 ÷ 131072     		y = 0.431251525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577529907226562 × 2 - 1) × π
    0.155059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48713477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431251525878906 × 2 - 1) × π
    0.137496948242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.431959402476326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48713477} λ = 0.48713477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431959402476326))-π/2
    2×atan(1.54027258263916)-π/2
    2×0.994958563783852-π/2
    1.9899171275677-1.57079632675     		φ = 0.41912080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48713477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.910766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41912080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.013853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75698 KachelY 56525 0.48713477 0.41912080 27.910766 24.013853
    Oben rechts KachelX + 1 75699 KachelY 56525 0.48718271 0.41912080 27.913513 24.013853
    Unten links KachelX 75698 KachelY + 1 56526 0.48713477 0.41907701 27.910766 24.011344
    Unten rechts KachelX + 1 75699 KachelY + 1 56526 0.48718271 0.41907701 27.913513 24.011344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41912080-0.41907701) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dl = 278.986089999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41912080-0.41907701) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dr = 278.986089999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48713477-0.48718271) × cos(0.41912080) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913447090350959 × 6371000     		do = 278.990253521429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48713477-0.48718271) × cos(0.41907701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913464910144422 × 6371000     		du = 278.995696145034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41912080)-sin(0.41907701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913447090350959-0.913464910144422)×R²
    abs(0.48718271-0.48713477)×1.78197934628255e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78197934628255e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78197934628255e-05×40589641000000     		ar = 77835.1591986167m²