Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75697 / 54769
↖ ↑ ↗
← N 28.340647°
E 27.908020°		 ← 268.76 m → N 28.340647°
E 27.910766°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
N 28.338230°
E 27.908020°		 ← 268.77 m →
72 242 m²		 N 28.338230°
E 27.910766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577526092529297 y=0.417858123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577526092529297 × 217)
    floor (0.577526092529297 × 131072)
    floor (75697.5)     		tx = 75697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417858123779297 × 217)
    floor (0.417858123779297 × 131072)
    floor (54769.5)     		ty = 54769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75697 / 54769 ti = "17/75697/54769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75697/54769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75697 ÷ 217
    75697 ÷ 131072     		x = 0.577522277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54769 ÷ 217
    54769 ÷ 131072     		y = 0.417854309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577522277832031 × 2 - 1) × π
    0.155044555664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.48708684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417854309082031 × 2 - 1) × π
    0.164291381835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.516136598209145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48708684} λ = 0.48708684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516136598209145))-π/2
    2×atan(1.67554183778066)-π/2
    2×1.03271696936828-π/2
    2.06543393873656-1.57079632675     		φ = 0.49463761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48708684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.908020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49463761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.340647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75697 KachelY 54769 0.48708684 0.49463761 27.908020 28.340647
    Oben rechts KachelX + 1 75698 KachelY 54769 0.48713477 0.49463761 27.910766 28.340647
    Unten links KachelX 75697 KachelY + 1 54770 0.48708684 0.49459542 27.908020 28.338230
    Unten rechts KachelX + 1 75698 KachelY + 1 54770 0.48713477 0.49459542 27.910766 28.338230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49463761-0.49459542) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49463761-0.49459542) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48708684-0.48713477) × cos(0.49463761) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.88014079877093 × 6371000     		do = 268.761580998366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48708684-0.48713477) × cos(0.49459542) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.880160826117605 × 6371000     		du = 268.767696589602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49463761)-sin(0.49459542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88014079877093-0.880160826117605)×R²
    abs(0.48713477-0.48708684)×2.00273466742784e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.00273466742784e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.00273466742784e-05×40589641000000     		ar = 72241.9164961666m²