Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75694 / 56531
↖ ↑ ↗
← N 23.998799°
E 27.899780°		 ← 278.96 m → N 23.998799°
E 27.902527°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 23.996290°
E 27.899780°		 ← 278.97 m →
77 828 m²		 N 23.996290°
E 27.902527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577503204345703 y=0.431301116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577503204345703 × 217)
    floor (0.577503204345703 × 131072)
    floor (75694.5)     		tx = 75694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431301116943359 × 217)
    floor (0.431301116943359 × 131072)
    floor (56531.5)     		ty = 56531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75694 / 56531 ti = "17/75694/56531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75694/56531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75694 ÷ 217
    75694 ÷ 131072     		x = 0.577499389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56531 ÷ 217
    56531 ÷ 131072     		y = 0.431297302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577499389648438 × 2 - 1) × π
    0.154998779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48694303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431297302246094 × 2 - 1) × π
    0.137405395507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.431671781078606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48694303} λ = 0.48694303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431671781078606))-π/2
    2×atan(1.53982963099032)-π/2
    2×0.994827192632647-π/2
    1.98965438526529-1.57079632675     		φ = 0.41885806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48694303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.899780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41885806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.998799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75694 KachelY 56531 0.48694303 0.41885806 27.899780 23.998799
    Oben rechts KachelX + 1 75695 KachelY 56531 0.48699096 0.41885806 27.902527 23.998799
    Unten links KachelX 75694 KachelY + 1 56532 0.48694303 0.41881427 27.899780 23.996290
    Unten rechts KachelX + 1 75695 KachelY + 1 56532 0.48699096 0.41881427 27.902527 23.996290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41885806-0.41881427) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dl = 278.986089999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41885806-0.41881427) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dr = 278.986089999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48694303-0.48699096) × cos(0.41885806) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.91355398283664 × 6371000     		do = 278.964698713429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48694303-0.48699096) × cos(0.41881427) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.913571792119825 × 6371000     		du = 278.970136992296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41885806)-sin(0.41881427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91355398283664-0.913571792119825)×R²
    abs(0.48699096-0.48694303)×1.78092831852883e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.78092831852883e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.78092831852883e-05×40589641000000     		ar = 77828.0291566532m²