Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75694 / 55728
↖ ↑ ↗
← N 25.997550°
E 27.899780°		 ← 274.46 m → N 25.997550°
E 27.902527°		 →
↑
274.46 m
↓
↑
274.46 m
↓
N 25.995081°
E 27.899780°		 ← 274.47 m →
75 331 m²		 N 25.995081°
E 27.902527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577503204345703 y=0.425174713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577503204345703 × 217)
    floor (0.577503204345703 × 131072)
    floor (75694.5)     		tx = 75694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425174713134766 × 217)
    floor (0.425174713134766 × 131072)
    floor (55728.5)     		ty = 55728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75694 / 55728 ti = "17/75694/55728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75694/55728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75694 ÷ 217
    75694 ÷ 131072     		x = 0.577499389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55728 ÷ 217
    55728 ÷ 131072     		y = 0.4251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577499389648438 × 2 - 1) × π
    0.154998779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48694303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4251708984375 × 2 - 1) × π
    0.149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.470165111473511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48694303} λ = 0.48694303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470165111473511))-π/2
    2×atan(1.60025839242677)-π/2
    2×1.01226958516547-π/2
    2.02453917033094-1.57079632675     		φ = 0.45374284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48694303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.899780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45374284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.997550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75694 KachelY 55728 0.48694303 0.45374284 27.899780 25.997550
    Oben rechts KachelX + 1 75695 KachelY 55728 0.48699096 0.45374284 27.902527 25.997550
    Unten links KachelX 75694 KachelY + 1 55729 0.48694303 0.45369976 27.899780 25.995081
    Unten rechts KachelX + 1 75695 KachelY + 1 55729 0.48699096 0.45369976 27.902527 25.995081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45374284-0.45369976) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dl = 274.462679999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45374284-0.45369976) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dr = 274.462679999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48694303-0.48699096) × cos(0.45374284) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898812792646663 × 6371000     		do = 274.463298952404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48694303-0.48699096) × cos(0.45369976) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898831675185713 × 6371000     		du = 274.46906496286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45374284)-sin(0.45369976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898812792646663-0.898831675185713)×R²
    abs(0.48699096-0.48694303)×1.88825390503577e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.88825390503577e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.88825390503577e-05×40589641000000     		ar = 75330.7238810488m²