Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75693 / 56521
↖ ↑ ↗
← N 24.023888°
E 27.897034°		 ← 278.97 m → N 24.023888°
E 27.899780°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
N 24.021379°
E 27.897034°		 ← 278.97 m →
77 829 m²		 N 24.021379°
E 27.899780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577495574951172 y=0.431224822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577495574951172 × 217)
    floor (0.577495574951172 × 131072)
    floor (75693.5)     		tx = 75693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431224822998047 × 217)
    floor (0.431224822998047 × 131072)
    floor (56521.5)     		ty = 56521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75693 / 56521 ti = "17/75693/56521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75693/56521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75693 ÷ 217
    75693 ÷ 131072     		x = 0.577491760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56521 ÷ 217
    56521 ÷ 131072     		y = 0.431221008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577491760253906 × 2 - 1) × π
    0.154983520507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48689509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431221008300781 × 2 - 1) × π
    0.137557983398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.432151150074806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48689509} λ = 0.48689509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432151150074806))-π/2
    2×atan(1.54056795452541)-π/2
    2×0.995046136009519-π/2
    1.99009227201904-1.57079632675     		φ = 0.41929595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48689509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.897034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41929595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.023888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75693 KachelY 56521 0.48689509 0.41929595 27.897034 24.023888
    Oben rechts KachelX + 1 75694 KachelY 56521 0.48694303 0.41929595 27.899780 24.023888
    Unten links KachelX 75693 KachelY + 1 56522 0.48689509 0.41925216 27.897034 24.021379
    Unten rechts KachelX + 1 75694 KachelY + 1 56522 0.48694303 0.41925216 27.899780 24.021379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41929595-0.41925216) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dl = 278.986089999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41929595-0.41925216) × R
    4.3789999999988e-05 × 6371000     		dr = 278.986089999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48689509-0.48694303) × cos(0.41929595) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913375797732691 × 6371000     		do = 278.968478920738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48689509-0.48694303) × cos(0.41925216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913393624531922 × 6371000     		du = 278.973923684085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41929595)-sin(0.41925216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913375797732691-0.913393624531922)×R²
    abs(0.48694303-0.48689509)×1.78267992312353e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78267992312353e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78267992312353e-05×40589641000000     		ar = 77829.0846863964m²