Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75691 / 58060
↖ ↑ ↗
← N 20.107524°
E 27.891541°		 ← 286.75 m → N 20.107524°
E 27.894287°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 20.104944°
E 27.891541°		 ← 286.75 m →
82 247 m²		 N 20.104944°
E 27.894287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577480316162109 y=0.442966461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577480316162109 × 217)
    floor (0.577480316162109 × 131072)
    floor (75691.5)     		tx = 75691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442966461181641 × 217)
    floor (0.442966461181641 × 131072)
    floor (58060.5)     		ty = 58060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75691 / 58060 ti = "17/75691/58060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75691/58060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75691 ÷ 217
    75691 ÷ 131072     		x = 0.577476501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58060 ÷ 217
    58060 ÷ 131072     		y = 0.442962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577476501464844 × 2 - 1) × π
    0.154953002929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.48679922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442962646484375 × 2 - 1) × π
    0.11407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.35837626155954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48679922} λ = 0.48679922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35837626155954))-π/2
    2×atan(1.43100395097531)-π/2
    2×0.960869406123815-π/2
    1.92173881224763-1.57079632675     		φ = 0.35094249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48679922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.891541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35094249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.107524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75691 KachelY 58060 0.48679922 0.35094249 27.891541 20.107524
    Oben rechts KachelX + 1 75692 KachelY 58060 0.48684715 0.35094249 27.894287 20.107524
    Unten links KachelX 75691 KachelY + 1 58061 0.48679922 0.35089747 27.891541 20.104944
    Unten rechts KachelX + 1 75692 KachelY + 1 58061 0.48684715 0.35089747 27.894287 20.104944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35094249-0.35089747) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35094249-0.35089747) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48679922-0.48684715) × cos(0.35094249) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939049117924235 × 6371000     		do = 286.749944919229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48679922-0.48684715) × cos(0.35089747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939064594083456 × 6371000     		du = 286.754670750626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35094249)-sin(0.35089747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939049117924235-0.939064594083456)×R²
    abs(0.48684715-0.48679922)×1.54761592210395e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54761592210395e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54761592210395e-05×40589641000000     		ar = 82246.9908876551m²