Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7569 / 5074
↖ ↑ ↗
← N 56.340901°
W 13.688965°		 ← 1 354.19 m → N 56.340901°
W 13.666992°		 →
↑
1 354.41 m
↓
↑
1 354.41 m
↓
N 56.328721°
W 13.688965°		 ← 1 354.62 m →
1 834 420 m²		 N 56.328721°
W 13.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462005615234375 y=0.309722900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462005615234375 × 214)
    floor (0.462005615234375 × 16384)
    floor (7569.5)     		tx = 7569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309722900390625 × 214)
    floor (0.309722900390625 × 16384)
    floor (5074.5)     		ty = 5074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7569 / 5074 ti = "14/7569/5074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7569/5074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7569 ÷ 214
    7569 ÷ 16384     		x = 0.46197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5074 ÷ 214
    5074 ÷ 16384     		y = 0.3096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23891751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3096923828125 × 2 - 1) × π
    0.380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19573802412268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23891751} λ = -0.23891751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19573802412268))-π/2
    2×atan(3.30599677573861)-π/2
    2×1.27706527816503-π/2
    2.55413055633007-1.57079632675     		φ = 0.98333423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23891751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98333423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.340901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7569 KachelY 5074 -0.23891751 0.98333423 -13.688965 56.340901
    Oben rechts KachelX + 1 7570 KachelY 5074 -0.23853401 0.98333423 -13.666992 56.340901
    Unten links KachelX 7569 KachelY + 1 5075 -0.23891751 0.98312164 -13.688965 56.328721
    Unten rechts KachelX + 1 7570 KachelY + 1 5075 -0.23853401 0.98312164 -13.666992 56.328721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98333423-0.98312164) × R
    0.000212589999999957 × 6371000     		dl = 1354.41088999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98333423-0.98312164) × R
    0.000212589999999957 × 6371000     		dr = 1354.41088999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23891751--0.23853401) × cos(0.98333423) × R
    0.000383500000000009 × 0.554250386417326 × 6371000     		do = 1354.18805275018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23891751--0.23853401) × cos(0.98312164) × R
    0.000383500000000009 × 0.554427323176252 × 6371000     		du = 1354.62035852912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98333423)-sin(0.98312164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554250386417326-0.554427323176252)×R²
    abs(-0.23853401--0.23891751)×0.000176936758926383×R²
    0.000383500000000009×0.000176936758926383×6371000²
    0.000383500000000009×0.000176936758926383×40589641000000     		ar = 1834419.81248909m²