Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7569 / 5073
↖ ↑ ↗
← N 56.353078°
W 13.688965°		 ← 1 353.76 m → N 56.353078°
W 13.666992°		 →
↑
1 353.96 m
↓
↑
1 353.96 m
↓
N 56.340901°
W 13.688965°		 ← 1 354.19 m →
1 833 231 m²		 N 56.340901°
W 13.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462005615234375 y=0.309661865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462005615234375 × 214)
    floor (0.462005615234375 × 16384)
    floor (7569.5)     		tx = 7569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309661865234375 × 214)
    floor (0.309661865234375 × 16384)
    floor (5073.5)     		ty = 5073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7569 / 5073 ti = "14/7569/5073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7569/5073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7569 ÷ 214
    7569 ÷ 16384     		x = 0.46197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5073 ÷ 214
    5073 ÷ 16384     		y = 0.30963134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23891751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30963134765625 × 2 - 1) × π
    0.3807373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19612151931964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23891751} λ = -0.23891751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19612151931964))-π/2
    2×atan(3.30726485275846)-π/2
    2×1.27717153738487-π/2
    2.55434307476974-1.57079632675     		φ = 0.98354675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23891751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98354675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.353078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7569 KachelY 5073 -0.23891751 0.98354675 -13.688965 56.353078
    Oben rechts KachelX + 1 7570 KachelY 5073 -0.23853401 0.98354675 -13.666992 56.353078
    Unten links KachelX 7569 KachelY + 1 5074 -0.23891751 0.98333423 -13.688965 56.340901
    Unten rechts KachelX + 1 7570 KachelY + 1 5074 -0.23853401 0.98333423 -13.666992 56.340901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98354675-0.98333423) × R
    0.000212520000000049 × 6371000     		dl = 1353.96492000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98354675-0.98333423) × R
    0.000212520000000049 × 6371000     		dr = 1353.96492000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23891751--0.23853401) × cos(0.98354675) × R
    0.000383500000000009 × 0.554073482882071 × 6371000     		do = 1353.75582814591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23891751--0.23853401) × cos(0.98333423) × R
    0.000383500000000009 × 0.554250386417326 × 6371000     		du = 1354.18805275018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98354675)-sin(0.98333423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554073482882071-0.554250386417326)×R²
    abs(-0.23853401--0.23891751)×0.000176903535255124×R²
    0.000383500000000009×0.000176903535255124×6371000²
    0.000383500000000009×0.000176903535255124×40589641000000     		ar = 1833230.5169306m²