Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75684 / 58050
↖ ↑ ↗
← N 20.133313°
E 27.872315°		 ← 286.70 m → N 20.133313°
E 27.875061°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.130734°
E 27.872315°		 ← 286.71 m →
82 215 m²		 N 20.130734°
E 27.875061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577426910400391 y=0.442890167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577426910400391 × 217)
    floor (0.577426910400391 × 131072)
    floor (75684.5)     		tx = 75684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442890167236328 × 217)
    floor (0.442890167236328 × 131072)
    floor (58050.5)     		ty = 58050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75684 / 58050 ti = "17/75684/58050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75684/58050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75684 ÷ 217
    75684 ÷ 131072     		x = 0.577423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58050 ÷ 217
    58050 ÷ 131072     		y = 0.442886352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577423095703125 × 2 - 1) × π
    0.15484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48646366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442886352539062 × 2 - 1) × π
    0.114227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35885563055574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48646366} λ = 0.48646366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35885563055574))-π/2
    2×atan(1.43169009434764)-π/2
    2×0.961094463088029-π/2
    1.92218892617606-1.57079632675     		φ = 0.35139260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48646366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.872315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35139260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.133313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75684 KachelY 58050 0.48646366 0.35139260 27.872315 20.133313
    Oben rechts KachelX + 1 75685 KachelY 58050 0.48651159 0.35139260 27.875061 20.133313
    Unten links KachelX 75684 KachelY + 1 58051 0.48646366 0.35134759 27.872315 20.130734
    Unten rechts KachelX + 1 75685 KachelY + 1 58051 0.48651159 0.35134759 27.875061 20.130734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35139260-0.35134759) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35139260-0.35134759) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48646366-0.48651159) × cos(0.35139260) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.938894282636131 × 6371000     		do = 286.702664101006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48646366-0.48651159) × cos(0.35134759) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.938909774381154 × 6371000     		du = 286.707394691714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35139260)-sin(0.35134759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938894282636131-0.938909774381154)×R²
    abs(0.48651159-0.48646366)×1.54917450221337e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.54917450221337e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.54917450221337e-05×40589641000000     		ar = 82215.1643941183m²