Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7568 / 9871
↖ ↑ ↗
← S 34.578952°
W 13.710937°		 ← 2 011.61 m → S 34.578952°
W 13.688965°		 →
↑
2 011.45 m
↓
↑
2 011.45 m
↓
S 34.597042°
W 13.710937°		 ← 2 011.17 m →
4 045 814 m²		 S 34.597042°
W 13.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461944580078125 y=0.602508544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461944580078125 × 214)
    floor (0.461944580078125 × 16384)
    floor (7568.5)     		tx = 7568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602508544921875 × 214)
    floor (0.602508544921875 × 16384)
    floor (9871.5)     		ty = 9871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7568 / 9871 ti = "14/7568/9871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7568/9871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7568 ÷ 214
    7568 ÷ 16384     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9871 ÷ 214
    9871 ÷ 16384     		y = 0.60247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.2049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.643888435696594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.643888435696594))-π/2
    2×atan(0.525246062509876)-π/2
    2×0.483639877679336-π/2
    0.967279755358673-1.57079632675     		φ = -0.60351657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60351657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.578952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7568 KachelY 9871 -0.23930100 -0.60351657 -13.710937 -34.578952
    Oben rechts KachelX + 1 7569 KachelY 9871 -0.23891751 -0.60351657 -13.688965 -34.578952
    Unten links KachelX 7568 KachelY + 1 9872 -0.23930100 -0.60383229 -13.710937 -34.597042
    Unten rechts KachelX + 1 7569 KachelY + 1 9872 -0.23891751 -0.60383229 -13.688965 -34.597042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60351657--0.60383229) × R
    0.000315720000000019 × 6371000     		dl = 2011.45212000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60351657--0.60383229) × R
    0.000315720000000019 × 6371000     		dr = 2011.45212000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23891751) × cos(-0.60351657) × R
    0.000383490000000014 × 0.823344911065403 × 6371000     		do = 2011.6084639863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23891751) × cos(-0.60383229) × R
    0.000383490000000014 × 0.823165685885591 × 6371000     		du = 2011.17057837625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60351657)-sin(-0.60383229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823344911065403-0.823165685885591)×R²
    abs(-0.23891751--0.23930100)×0.00017922517981106×R²
    0.000383490000000014×0.00017922517981106×6371000²
    0.000383490000000014×0.00017922517981106×40589641000000     		ar = 4045813.75013267m²