Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7568 / 10417
↖ ↑ ↗
← S 43.850374°
W 13.710937°		 ← 1 761.93 m → S 43.850374°
W 13.688965°		 →
↑
1 761.71 m
↓
↑
1 761.71 m
↓
S 43.866218°
W 13.710937°		 ← 1 761.46 m →
3 103 592 m²		 S 43.866218°
W 13.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461944580078125 y=0.635833740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461944580078125 × 214)
    floor (0.461944580078125 × 16384)
    floor (7568.5)     		tx = 7568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635833740234375 × 214)
    floor (0.635833740234375 × 16384)
    floor (10417.5)     		ty = 10417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7568 / 10417 ti = "14/7568/10417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7568/10417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7568 ÷ 214
    7568 ÷ 16384     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10417 ÷ 214
    10417 ÷ 16384     		y = 0.63580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.2716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.853276813237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.853276813237))-π/2
    2×atan(0.426016665222642)-π/2
    2×0.402731456783547-π/2
    0.805462913567094-1.57079632675     		φ = -0.76533341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76533341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.850374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7568 KachelY 10417 -0.23930100 -0.76533341 -13.710937 -43.850374
    Oben rechts KachelX + 1 7569 KachelY 10417 -0.23891751 -0.76533341 -13.688965 -43.850374
    Unten links KachelX 7568 KachelY + 1 10418 -0.23930100 -0.76560993 -13.710937 -43.866218
    Unten rechts KachelX + 1 7569 KachelY + 1 10418 -0.23891751 -0.76560993 -13.688965 -43.866218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76533341--0.76560993) × R
    0.000276520000000002 × 6371000     		dl = 1761.70892000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76533341--0.76560993) × R
    0.000276520000000002 × 6371000     		dr = 1761.70892000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23891751) × cos(-0.76533341) × R
    0.000383490000000014 × 0.721151418584958 × 6371000     		do = 1761.92781171632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23891751) × cos(-0.76560993) × R
    0.000383490000000014 × 0.72095982418888 × 6371000     		du = 1761.45970545414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76533341)-sin(-0.76560993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721151418584958-0.72095982418888)×R²
    abs(-0.23891751--0.23930100)×0.000191594396078298×R²
    0.000383490000000014×0.000191594396078298×6371000²
    0.000383490000000014×0.000191594396078298×40589641000000     		ar = 3103591.62858335m²