Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75678 / 61406
↖ ↑ ↗
← N 11.270000°
E 27.855835°		 ← 299.47 m → N 11.270000°
E 27.858581°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
N 11.267306°
E 27.855835°		 ← 299.48 m →
89 693 m²		 N 11.267306°
E 27.858581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577381134033203 y=0.468494415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577381134033203 × 217)
    floor (0.577381134033203 × 131072)
    floor (75678.5)     		tx = 75678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468494415283203 × 217)
    floor (0.468494415283203 × 131072)
    floor (61406.5)     		ty = 61406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75678 / 61406 ti = "17/75678/61406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75678/61406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75678 ÷ 217
    75678 ÷ 131072     		x = 0.577377319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61406 ÷ 217
    61406 ÷ 131072     		y = 0.468490600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577377319335938 × 2 - 1) × π
    0.154754638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48617604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468490600585938 × 2 - 1) × π
    0.063018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.197979395430832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48617604} λ = 0.48617604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.197979395430832))-π/2
    2×atan(1.21893727788544)-π/2
    2×0.883747462407605-π/2
    1.76749492481521-1.57079632675     		φ = 0.19669860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48617604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.855835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19669860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.270000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75678 KachelY 61406 0.48617604 0.19669860 27.855835 11.270000
    Oben rechts KachelX + 1 75679 KachelY 61406 0.48622397 0.19669860 27.858581 11.270000
    Unten links KachelX 75678 KachelY + 1 61407 0.48617604 0.19665159 27.855835 11.267306
    Unten rechts KachelX + 1 75679 KachelY + 1 61407 0.48622397 0.19665159 27.858581 11.267306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19669860-0.19665159) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19669860-0.19665159) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48617604-0.48622397) × cos(0.19669860) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980717122591951 × 6371000     		do = 299.47377141062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48617604-0.48622397) × cos(0.19665159) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.980726308797734 × 6371000     		du = 299.476576529066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19669860)-sin(0.19665159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980717122591951-0.980726308797734)×R²
    abs(0.48622397-0.48617604)×9.18620578371776e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.18620578371776e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.18620578371776e-06×40589641000000     		ar = 89693.0272478827m²