Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75673 / 55859
↖ ↑ ↗
← N 25.673711°
E 27.842102°		 ← 275.27 m → N 25.673711°
E 27.844849°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
N 25.671236°
E 27.842102°		 ← 275.28 m →
75 763 m²		 N 25.671236°
E 27.844849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577342987060547 y=0.426174163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577342987060547 × 217)
    floor (0.577342987060547 × 131072)
    floor (75673.5)     		tx = 75673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426174163818359 × 217)
    floor (0.426174163818359 × 131072)
    floor (55859.5)     		ty = 55859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75673 / 55859 ti = "17/75673/55859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75673/55859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75673 ÷ 217
    75673 ÷ 131072     		x = 0.577339172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55859 ÷ 217
    55859 ÷ 131072     		y = 0.426170349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577339172363281 × 2 - 1) × π
    0.154678344726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48593635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426170349121094 × 2 - 1) × π
    0.147659301757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.463885377623283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48593635} λ = 0.48593635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463885377623283))-π/2
    2×atan(1.5902406828265)-π/2
    2×1.00944355993427-π/2
    2.01888711986853-1.57079632675     		φ = 0.44809079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48593635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.842102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44809079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.673711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75673 KachelY 55859 0.48593635 0.44809079 27.842102 25.673711
    Oben rechts KachelX + 1 75674 KachelY 55859 0.48598429 0.44809079 27.844849 25.673711
    Unten links KachelX 75673 KachelY + 1 55860 0.48593635 0.44804759 27.842102 25.671236
    Unten rechts KachelX + 1 75674 KachelY + 1 55860 0.48598429 0.44804759 27.844849 25.671236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44809079-0.44804759) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dl = 275.227200000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44809079-0.44804759) × R
    4.3200000000021e-05 × 6371000     		dr = 275.227200000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48593635-0.48598429) × cos(0.44809079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901275901293919 × 6371000     		do = 275.272859096681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48593635-0.48598429) × cos(0.44804759) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901294616662826 × 6371000     		du = 275.278575252079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44809079)-sin(0.44804759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901275901293919-0.901294616662826)×R²
    abs(0.48598429-0.48593635)×1.8715368906963e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8715368906963e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8715368906963e-05×40589641000000     		ar = 75763.3648777366m²