Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7567 / 5071
↖ ↑ ↗
← N 56.377419°
W 13.732910°		 ← 1 352.89 m → N 56.377419°
W 13.710937°		 →
↑
1 353.07 m
↓
↑
1 353.07 m
↓
N 56.365250°
W 13.732910°		 ← 1 353.32 m →
1 830 853 m²		 N 56.365250°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461883544921875 y=0.309539794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461883544921875 × 214)
    floor (0.461883544921875 × 16384)
    floor (7567.5)     		tx = 7567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309539794921875 × 214)
    floor (0.309539794921875 × 16384)
    floor (5071.5)     		ty = 5071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7567 / 5071 ti = "14/7567/5071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7567/5071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7567 ÷ 214
    7567 ÷ 16384     		x = 0.46185302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5071 ÷ 214
    5071 ÷ 16384     		y = 0.30950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46185302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0762939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23968450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30950927734375 × 2 - 1) × π
    0.3809814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19688850971356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23968450} λ = -0.23968450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19688850971356))-π/2
    2×atan(3.30980246616883)-π/2
    2×1.27738395407788-π/2
    2.55476790815576-1.57079632675     		φ = 0.98397158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23968450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98397158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.377419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7567 KachelY 5071 -0.23968450 0.98397158 -13.732910 56.377419
    Oben rechts KachelX + 1 7568 KachelY 5071 -0.23930100 0.98397158 -13.710937 56.377419
    Unten links KachelX 7567 KachelY + 1 5072 -0.23968450 0.98375920 -13.732910 56.365250
    Unten rechts KachelX + 1 7568 KachelY + 1 5072 -0.23930100 0.98375920 -13.710937 56.365250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98397158-0.98375920) × R
    0.000212380000000012 × 6371000     		dl = 1353.07298000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98397158-0.98375920) × R
    0.000212380000000012 × 6371000     		dr = 1353.07298000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23968450--0.23930100) × cos(0.98397158) × R
    0.000383499999999981 × 0.553719775613438 × 6371000     		do = 1352.89162278107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23968450--0.23930100) × cos(0.98375920) × R
    0.000383499999999981 × 0.553896612603209 × 6371000     		du = 1353.32368479618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98397158)-sin(0.98375920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553719775613438-0.553896612603209)×R²
    abs(-0.23930100--0.23968450)×0.000176836989770557×R²
    0.000383499999999981×0.000176836989770557×6371000²
    0.000383499999999981×0.000176836989770557×40589641000000     		ar = 1830853.41225505m²